Что такое круговая перестановка?
Круговая перестановка — это число различных способов расставить n различных объектов по кругу, если повороты одного и того же расположения считаются одинаковыми. В отличие от ряда (линейного расположения), у круга нет фиксированной точки отсчёта, поэтому если сдвинуть всех на одно место влево, получится та же самая расстановка. Этот калькулятор выдаёт точное значение — \((n - 1)!\), используя арифметику произвольной точности, так что даже для очень больших чисел результат остаётся абсолютно точным.
Как пользоваться калькулятором
Введите количество различных объектов n (целое положительное число, \(n \ge 1\)) и сразу увидите число круговых перестановок. Например, количество способов рассадить n человек за круглым столом или разместить n различных бусин в кольце с фиксированной ориентацией равно \((n - 1)!\).
Разбор формулы
Число линейных перестановок n различных объектов равно \(n!\). В круге же каждое уникальное расположение можно повернуть в n различных, но равноценных позиций (по одной на каждый возможный «начальный» объект). Разделив число линейных перестановок на эти n поворотов, получаем:
$$\frac{n!}{n} = (n - 1)!$$
Обратите внимание: это стандартная круговая перестановка. Она не считает зеркальные отражения (по часовой стрелке и против часовой) одинаковыми. Если бы отражения тоже считались идентичными — как у ожерелья или браслета, которые можно перевернуть, — то для \(n \ge 3\) число было бы \(\frac{(n - 1)!}{2}\).
Пример с решением
Для n = 5:
$$(5 - 1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$То есть пятерых разных людей можно рассадить за круглым столом 24 различными способами, если повороты считать одинаковыми.
Частые вопросы
Чему равен ответ при n = 1 или n = 2? При n = 1: \((1 - 1)! = 0! = 1\). При n = 2: \((2 - 1)! = 1! = 1\) — два объекта в круге дают всего одно различное расположение с точностью до поворота.
Почему делим на n, а не вычитаем? Потому что каждой круговой расстановке соответствует ровно n равноценных линейных порядков (по одному на каждый поворот), поэтому общее число \(n!\) делят на n, что упрощается до \((n - 1)!\).
Считает ли это ожерелья или браслеты? Нет. Здесь вычисляется стандартная круговая перестановка \((n - 1)!\). При подсчёте ожерелий и браслетов, где совпадают ещё и зеркальные отражения, используют формулу \(\frac{(n - 1)!}{2}\) для \(n \ge 3\).
