Калькулятор LU-разложения с частичным выбором ведущего элемента

Введите расчет

Размер матрицы n (строки = столбцы) 2 × 2 3 × 3 4 × 4 5 × 5

Матрица A {a_ij}

Введите элементы квадратной матрицы построчно. Неиспользуемые ячейки (за пределами размера n) не учитываются.

Число значащих цифр 6 significant digits 10 significant digits 14 significant digits 18 significant digits 22 significant digits 26 significant digits 30 significant digits 34 significant digits 38 significant digits 42 significant digits 46 significant digits 50 significant digits

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Determinant

   

   Determinant from the permutation sign and the product of U's diagonal entries.

Результатов

Determinant det(A) = sign(P) × product of U diagonal

-16

Нижнетреугольная матрица L

1	0	0
0.5	1	0
-0.5	1	1

Верхнетреугольная матрица U

4	-6	0
0	4	1
0	0	1

Вектор перестановки строк P (нумерация с нуля)

P = ( 1, 0, 2 )

Because of partial pivoting, L·U equals the матрице с переставленными строками matrix A (reorder A's rows by P first), so P·A = L·U. A naive L·U product will not reproduce the original A unless you apply the permutation P.

Метод	LU-разложение методом Дулиттла с частичным выбором ведущего элемента (по строкам)
Размер матрицы	3 × 3

Что такое LU-разложение с частичным выбором ведущего элемента?

LU-разложение представляет квадратную матрицу A в виде произведения нижнетреугольной матрицы L (с единицами на главной диагонали) и верхнетреугольной матрицы U. При частичном выборе ведущего элемента (по строкам) дополнительно формируется вектор перестановки строк P, такой что \(P \cdot A = L \cdot U\). Выбор ведущего элемента переставляет на нужное место строку с наибольшим по модулю опорным элементом — это исключает деление на ноль и заметно повышает численную устойчивость. Это чистая линейная алгебра, которая работает одинаково везде и не зависит от страны.

Частичный выбор ведущего элемента раскладывает переставленную матрицу P·A на нижнетреугольную L и верхнетреугольную U.

Как пользоваться калькулятором

Выберите размер матрицы n (от 2 до 5), введите элементы квадратной матрицы построчно и укажите, сколько значащих цифр показывать в результате. Нажмите «Вычислить», чтобы получить L, U, вектор перестановки P (нумерация с нуля) и определитель. Ячейки за пределами выбранного размера не учитываются.

Алгоритм

Для каждого столбца k находим строку p (p ≥ k), в которой |M[p][k]| максимально, и переставляем её на место строки k. Затем для каждой строки i ниже k вычисляем множитель factor = M[i][k] / M[k][k], сохраняем его в нижней части матрицы и обновляем оставшиеся элементы: \(M[i][j] \mathrel{-}= \text{factor} \cdot M[k][j]\). После обработки всех столбцов L — это строго нижняя часть M с единичной диагональю, а U — верхняя часть вместе с диагональю. Определитель равен знаку перестановки, умноженному на произведение диагональных элементов U:

$$\det(A) = \operatorname{sign}(P) \prod_{i} U_{ii}$$

Реклама

На каждом шаге выбирается строка с наибольшим по модулю элементом в столбце и переставляется наверх перед исключением нижних.

Разбор примера

Для A = [[2,1,1],[4,-6,0],[-2,7,2]] первый ведущий элемент находится в строке 1 (|4| — наибольший), поэтому P становится (1,0,2). После исключения получаем L = [[1,0,0],[0.5,1,0],[-0.5,1,1]], U = [[4,-6,0],[0,4,1],[0,0,1]]. Одна перестановка даёт знак −1, поэтому $$\det(A) = -1 \times (4 \cdot 4 \cdot 1) = -16.$$

Частые вопросы

Почему L·U не совпадает с исходной матрицей A? Из-за перестановок L·U равно матрице A со строками, переставленными согласно P. Сначала переупорядочьте строки A по вектору P — тогда L·U совпадёт.

А если матрица вырожденная? На диагонали U появится ноль, а определитель будет равен 0; при этом разложение всё равно выводится.

Нумерация вектора перестановки начинается с нуля? Да. P[i] — это индекс исходной строки матрицы A, которая оказалась в строке i.