Калькулятор разложения Холецкого

Введите расчет

Входная матрица (значения через запятую, | — новая строка): 4,12,-16|12,37,-43|-16,-43,98

Результатов

Входная матрица

4	12	-16
12	37	-43
-16	-43	98

Разложение Холецкого (матрица L)

2	0	0
6	1	0
-8	5	3

Дополнительная информация

Определитель	36

Что такое калькулятор разложения Холецкого?

Этот калькулятор раскладывает симметричную положительно определённую матрицу A в произведение \(A = L \cdot L^{\mathsf{T}}\), где L — нижняя треугольная матрица, а \(L^{\mathsf{T}}\) — её транспонированная версия. Разложение Холецкого примерно вдвое эффективнее LU-разложения и широко применяется в численной линейной алгебре, методе Монте-Карло, при решении систем линейных уравнений и задач наименьших квадратов. В качестве полезного бонуса инструмент сразу выдаёт и определитель вашей матрицы.

Как пользоваться калькулятором

Поле ввода всего одно — Входная матрица. Записывайте матрицу так: значения внутри строки разделяйте запятыми, а для перехода на новую строку используйте вертикальную черту |.

• Пример матрицы 2×2: 4,12|12,37
• Пример матрицы 3×3: 4,12,-16|12,37,-43|-16,-43,98

Сначала калькулятор проверяет, что матрица симметрична (каждый внедиагональный элемент A_ij должен совпадать с A_ji с точностью до 1e-10). Если матрица симметрична и положительно определена, инструмент вычисляет и выводит нижнюю треугольную матрицу L и определитель. Если же матрица несимметрична или не является положительно определённой, разложение выполнить нельзя.

Разбор формулы

Для каждого элемента матрицы L алгоритм вычисляет:

• Диагональные элементы: \(L_{jj} = \sqrt{A_{jj} - \sum L_{jk}^{2}}\) при \(k < j\)
• Элементы ниже диагонали: \(L_{ij} = \dfrac{A_{ij} - \sum L_{ik} L_{jk}}{L_{jj}}\) при \(i > j\)

Определитель равен произведению квадратов диагональных элементов матрицы L.

$$A = L\,L^{\mathsf{T}}, \qquad \det(A) = \prod_{i=1}^{n} L_{ii}^{2}$$

Реклама

Разложение Холецкого представляет A как произведение нижней треугольной матрицы и её транспонирования.

Разбор примера

Возьмём матрицу 3×3 4,12,-16|12,37,-43|-16,-43,98. Пройдём по формуле шаг за шагом:

• \(L_{11} = \sqrt{4} = 2\)
• \(L_{21} = 12 / 2 = 6\), \(L_{22} = \sqrt{37 - 36} = 1\)
• \(L_{31} = -16 / 2 = -8\), \(L_{32} = (-43 - (-8)(6)) / 1 = 5\), \(L_{33} = \sqrt{98 - 64 - 25} = 3\)

В итоге \(L = [[2,0,0],[6,1,0],[-8,5,3]]\), а определитель \(= (2 \cdot 1 \cdot 3)^{2} = 36\).

Диагональные элементы используют квадратный корень; внедиагональные вычисляются по столбцам.

Часто задаваемые вопросы

Почему калькулятор не выдаёт результат? Матрица обязана быть симметричной (\(A_{ij} = A_{ji}\)) и положительно определённой (все собственные значения положительны). Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, разложение Холецкого не существует.

Обязательно ли матрица должна быть квадратной? Да. В каждой строке должно быть столько же значений, сколько строк в матрице, и сама матрица должна быть симметричной.

Как вычисляется определитель? Это произведение квадратов диагональных элементов матрицы L, и оно равно определителю исходной матрицы A.