¿Qué es la calculadora de descomposición de Cholesky?
Esta calculadora factoriza una matriz simétrica y definida positiva A en el producto \(A = L \cdot L^{\mathsf{T}}\), donde L es una matriz triangular inferior y \(L^{\mathsf{T}}\) es su traspuesta. La descomposición de Cholesky es aproximadamente el doble de eficiente que la descomposición LU y se utiliza ampliamente en álgebra lineal numérica, en la simulación de Montecarlo, en la resolución de sistemas lineales y en problemas de mínimos cuadrados. La herramienta también devuelve el determinante de tu matriz como un resultado adicional muy útil.
Cómo utilizarla
Solo hay un campo de entrada: Matriz de entrada. Introduce tu matriz usando comas para separar los valores dentro de una fila y la barra vertical | para empezar una nueva fila.
- Ejemplo 2×2:
4,12|12,37 - Ejemplo 3×3:
4,12,-16|12,37,-43|-16,-43,98
La calculadora comprueba primero que tu matriz sea simétrica (cada elemento fuera de la diagonal \(A_{ij}\) debe ser igual a \(A_{ji}\), dentro de una tolerancia de 1e-10). Si es simétrica y definida positiva, calcula y muestra la matriz triangular inferior L y el determinante. Si la matriz no es simétrica o no es definida positiva, la descomposición no se puede realizar.
La fórmula explicada
Para cada elemento de L, el algoritmo calcula:
$$A = L\,L^{\mathsf{T}}, \qquad \det(A) = \prod_{i=1}^{n} L_{ii}^{2}$$- Diagonal: \(L_{jj} = \sqrt{A_{jj} - \sum L_{jk}^{2}}\) para \(k < j\)
- Bajo la diagonal: \(L_{ij} = \dfrac{A_{ij} - \sum L_{ik} L_{jk}}{L_{jj}}\) para \(i > j\)
El determinante es igual al producto de los cuadrados de los elementos de la diagonal de L.
Ejemplo resuelto
Tomemos la matriz 3×3 4,12,-16|12,37,-43|-16,-43,98. Aplicando la fórmula paso a paso:
- $$L_{11} = \sqrt{4} = 2$$
- $$L_{21} = \frac{12}{2} = 6, \qquad L_{22} = \sqrt{37 - 36} = 1$$
- $$L_{31} = \frac{-16}{2} = -8, \qquad L_{32} = \frac{-43 - (-8)(6)}{1} = 5, \qquad L_{33} = \sqrt{98 - 64 - 25} = 3$$
Por tanto \(L = [[2,0,0],[6,1,0],[-8,5,3]]\), y el determinante \(= (2 \cdot 1 \cdot 3)^{2} = 36\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué mi matriz no devuelve ningún resultado? La matriz debe ser simétrica (\(A_{ij} = A_{ji}\)) y definida positiva (todos sus autovalores positivos). Si no se cumple alguna de estas condiciones, no existe factor de Cholesky.
¿La matriz tiene que ser cuadrada? Sí. Cada fila debe tener el mismo número de valores que filas hay en total, y además debe ser simétrica.
¿Cómo se calcula el determinante? Es el producto de los cuadrados de los elementos de la diagonal de L, que coincide con el determinante de la matriz original A.
