Qué hace esta calculadora
Esta herramienta realiza la descomposición en fracciones parciales de una expresión racional propia cuyo denominador tiene dos factores lineales distintos. Dado un numerador de la forma px + q y un denominador (x − a)(x − b), separa la fracción en dos términos sencillos: A/(x − a) y B/(x − b). Es una de las técnicas más utilizadas en álgebra y cálculo, sobre todo a la hora de integrar funciones racionales.
Cómo usarla
Introduce los coeficientes del numerador p y q (de modo que la parte superior de la fracción sea px + q) y, a continuación, las dos raíces a y b que definen los factores (x − a) y (x − b). Las raíces deben ser diferentes. La calculadora devuelve las constantes A y B que convierten la descomposición en una identidad exacta.
La fórmula explicada
Buscamos que $$\frac{p\,x + q}{(x - a)(x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b}$$ Al multiplicar ambos lados obtenemos \(px + q = A(x - b) + B(x - a)\). Con el método de cobertura (cover-up), sustituimos \(x = a\) para despejar A: $$A = \frac{p\,a + q}{a - b}$$ Después sustituimos \(x = b\) para despejar B: $$B = \frac{p\,b + q}{b - a}$$ Estas dos expresiones cerradas son justamente las que evalúa la calculadora.
Ejemplo resuelto
Descompongamos \(\frac{3x + 5}{(x - 1)(x - 2)}\). Aquí \(p = 3\), \(q = 5\), \(a = 1\) y \(b = 2\). Entonces $$A = \frac{3\cdot 1 + 5}{1 - 2} = \frac{8}{-1} = -8,$$ y $$B = \frac{3\cdot 2 + 5}{2 - 1} = \frac{11}{1} = 11.$$ Por tanto, la descomposición es \(\frac{-8}{x - 1} + \frac{11}{x - 2}\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué a y b tienen que ser distintas? Si \(a = b\), el denominador tiene un factor repetido \((x - a)^2\), que requiere una forma diferente: \(\frac{A}{x - a} + \frac{B}{(x - a)^2}\). En ese caso, esta fórmula sencilla de dos términos ya no se aplica.
¿El numerador tiene que ser px + q? El numerador debe tener un grado menor que el denominador (fracción propia). Un numerador lineal \(px + q\) es el caso general aquí; pon \(p = 0\) si el numerador es una constante.
¿Y si mis factores tienen la forma (x + c)? Reescribe \((x + c)\) como \((x - (-c))\), de modo que la raíz correspondiente sea \(a = -c\).
