यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल ऐसे उचित परिमेय व्यंजक का आंशिक भिन्न अपघटन करता है जिसके हर में दो अलग-अलग रैखिक गुणनखंड हों। जब अंश px + q के रूप में हो और हर (x − a)(x − b) हो, तो यह भिन्न को दो सरल पदों A/(x − a) और B/(x − b) में बाँट देता है। बीजगणित और कलन (कैलकुलस) में यह सबसे अधिक काम आने वाली तकनीकों में से एक है, खासकर परिमेय फलनों का समाकलन (integration) करते समय।
इसका उपयोग कैसे करें
अंश के गुणांक p और q दर्ज करें (ताकि भिन्न का ऊपरी भाग px + q बने), फिर वे दो मूल a और b दर्ज करें जो गुणनखंड (x − a) और (x − b) को परिभाषित करते हैं। ध्यान रहे, दोनों मूल अलग-अलग होने चाहिए। कैलकुलेटर वे स्थिरांक A और B लौटाता है जिनसे यह अपघटन एक सटीक सर्वसमिका (identity) बन जाता है।
सूत्र की व्याख्या
हमें चाहिए कि $$\frac{px+q}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$$ दोनों ओर हर से गुणा करने पर मिलता है \(px + q = A(x - b) + B(x - a)\)। कवर-अप विधि से, A अलग करने के लिए \(x = a\) रखें: $$A = \frac{pa + q}{a - b}$$ B अलग करने के लिए \(x = b\) रखें: $$B = \frac{pb + q}{b - a}$$ बंद रूप (closed-form) वाले ये दोनों व्यंजक ही कैलकुलेटर गणना करके निकालता है।
हल किया हुआ उदाहरण
\((3x + 5)/((x - 1)(x - 2))\) का अपघटन कीजिए। यहाँ \(p = 3\), \(q = 5\), \(a = 1\), \(b = 2\) हैं। तब $$A = \frac{3\cdot 1 + 5}{1 - 2} = \frac{8}{-1} = -8$$ और $$B = \frac{3\cdot 2 + 5}{2 - 1} = \frac{11}{1} = 11$$ इसलिए अपघटन है $$\frac{-8}{x - 1} + \frac{11}{x - 2}$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
a और b का अलग-अलग होना ज़रूरी क्यों है? यदि \(a = b\) हो जाए तो हर में एक दोहराया गया गुणनखंड \((x - a)^2\) बनता है, जिसका रूप अलग होता है — \(A/(x - a) + B/(x - a)^2\)। ऐसे में यह सरल दो-पद वाला सूत्र लागू नहीं होता।
क्या अंश का px + q रूप में होना अनिवार्य है? अंश की घात हर की घात से कम होनी चाहिए (यानी उचित भिन्न)। यहाँ रैखिक अंश px + q सामान्य स्थिति है; यदि अंश स्थिर हो तो \(p = 0\) रख दें।
अगर मेरे गुणनखंड (x + c) जैसे दिखें तो? \((x + c)\) को \((x - (-c))\) के रूप में लिख लें, तो संबंधित मूल \(a = -c\) हो जाएगा।
