Công cụ này làm gì
Công cụ này giúp bạn phân tích một phân thức hữu tỉ thực sự (bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu) khi mẫu số có hai thừa số bậc nhất phân biệt. Với tử số dạng px + q và mẫu số (x − a)(x − b), công cụ sẽ tách phân thức thành hai số hạng đơn giản A/(x − a) và B/(x − b). Đây là một trong những kỹ thuật quen thuộc nhất trong đại số và giải tích, đặc biệt hữu ích khi tính tích phân của các hàm hữu tỉ.
Cách sử dụng
Bạn nhập hai hệ số của tử số là p và q (sao cho tử số là px + q), sau đó nhập hai nghiệm a và b tạo nên hai thừa số (x − a) và (x − b). Lưu ý rằng hai nghiệm phải khác nhau. Công cụ sẽ trả về hai hằng số A và B để phép phân tích trở thành một đẳng thức đúng với mọi giá trị của x.
Giải thích công thức
Ta cần có $$\frac{p\,x + q}{(x - a)(x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b}$$ Nhân hai vế với mẫu chung ta được \(px + q = A(x - b) + B(x - a)\). Áp dụng phương pháp "che" (cover-up), thay \(x = a\) để tìm A: $$A = \frac{p\,a + q}{a - b}$$ Thay \(x = b\) để tìm B: $$B = \frac{p\,b + q}{b - a}$$ Đây chính là hai biểu thức dạng đóng mà công cụ sẽ tính toán.
Ví dụ minh họa
Phân tích \(\frac{3x + 5}{(x - 1)(x - 2)}\). Ở đây \(p = 3\), \(q = 5\), \(a = 1\), \(b = 2\). Khi đó $$A = \frac{3\cdot 1 + 5}{1 - 2} = \frac{8}{-1} = -8,$$ và $$B = \frac{3\cdot 2 + 5}{2 - 1} = \frac{11}{1} = 11.$$ Vậy kết quả phân tích là $$\frac{-8}{x - 1} + \frac{11}{x - 2}.$$
Câu hỏi thường gặp
Vì sao a và b phải khác nhau? Nếu \(a = b\) thì mẫu số có thừa số lặp \((x - a)^2\), trường hợp này cần dạng phân tích khác là \(\frac{A}{x - a} + \frac{B}{(x - a)^2}\), nên công thức hai số hạng đơn giản ở đây không còn áp dụng được.
Tử số có bắt buộc phải là px + q không? Tử số phải có bậc nhỏ hơn bậc của mẫu số (tức là phân thức thực sự). Tử số bậc nhất px + q là trường hợp tổng quát ở đây; nếu tử số là hằng số thì bạn chỉ cần đặt \(p = 0\).
Nếu thừa số của tôi có dạng (x + c) thì sao? Bạn hãy viết lại \((x + c)\) thành \((x - (-c))\), khi đó nghiệm tương ứng là \(a = -c\).
