ماذا تفعل هذه الحاسبة
تقوم هذه الأداة بتفكيك الكسور الجزئية لتعبير كسري نسبي حقيقي يحتوي مقامه على عاملين خطيين مختلفين. إذا كان البسط على الصورة px + q والمقام على الصورة (x − a)(x − b)، فإنها تفصل الكسر إلى حدّين بسيطين هما A/(x − a) وB/(x − b). ويُعدّ هذا التفكيك من أكثر الأساليب شيوعًا في الجبر والتفاضل والتكامل، خاصة عند تكامل الدوال النسبية.
كيفية الاستخدام
أدخل معاملي البسط p وq (بحيث يكون أعلى الكسر px + q)، ثم أدخل الجذرين a وb اللذين يحددان العاملين (x − a) و(x − b). يجب أن يكون الجذران مختلفين. تُعيد الحاسبة عندئذٍ الثابتين A وB اللذين يجعلان التفكيك متطابقة صحيحة تمامًا.
شرح الصيغة
نريد أن يتحقق $$\frac{p\,x + q}{(x - a)(x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b}$$ وبضرب الطرفين في المقام نحصل على \(p\,x + q = A(x - b) + B(x - a)\). وباستخدام طريقة التغطية (cover-up) نعوّض \(x = a\) لعزل A فينتج: $$A = \frac{p\,a + q}{a - b}$$ ثم نعوّض \(x = b\) لعزل B فينتج: $$B = \frac{p\,b + q}{b - a}$$ وهاتان الصيغتان المغلقتان هما ما تحسبه الحاسبة بالضبط.
مثال محلول
لنفكّك \(\frac{3x + 5}{(x - 1)(x - 2)}\). هنا \(p = 3\)، \(q = 5\)، \(a = 1\)، \(b = 2\). إذن $$A = \frac{3\cdot 1 + 5}{1 - 2} = \frac{8}{-1} = -8$$ وَ $$B = \frac{3\cdot 2 + 5}{2 - 1} = \frac{11}{1} = 11$$ وبالتالي يكون التفكيك \(\frac{-8}{x - 1} + \frac{11}{x - 2}\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون a وb مختلفين؟ إذا كان \(a = b\) فإن المقام يحتوي على عامل مكرر \((x - a)^2\)، وهذا يتطلب صيغة مختلفة على الشكل \(\frac{A}{x - a} + \frac{B}{(x - a)^2}\)، ولذلك لا تنطبق هنا صيغة الحدّين البسيطة.
هل يجب أن يكون البسط بالصورة px + q؟ يجب أن تكون درجة البسط أقل من درجة المقام (أي كسر حقيقي). والبسط الخطي \(p\,x + q\) هو الحالة العامة هنا؛ وإذا كان البسط ثابتًا فاجعل \(p = 0\).
ماذا لو كانت عواملي على الصورة (x + c)؟ أعِد كتابة \((x + c)\) على الصورة \((x - (-c))\)، فيكون الجذر المقابل \(a = -c\).
