ما هي حاسبة تحليل تشوليسكي؟
تقوم هذه الحاسبة بتحليل مصفوفة متماثلة وموجبة التحديد A إلى حاصل ضرب \(A = L \cdot L^{\mathsf{T}}\)، حيث تمثّل L مصفوفة مثلثية سفلية، و\(L^{\mathsf{T}}\) منقولها. ويُعدّ تحليل تشوليسكي أكثر كفاءة بنحو الضعف مقارنةً بتحليل LU، وهو شائع الاستخدام في الجبر الخطي العددي، ومحاكاة مونت كارلو، وحلّ الأنظمة الخطية، ومسائل المربعات الصغرى. كما تعرض الأداة محدّد المصفوفة كنتيجة إضافية مفيدة.
طريقة الاستخدام
هناك حقل إدخال واحد فقط: المصفوفة المدخلة. أدخل مصفوفتك باستخدام الفواصل للفصل بين القيم داخل الصف الواحد، وعلامة الأنبوب | لبدء صف جديد.
- مثال على مصفوفة 2×2:
4,12|12,37 - مثال على مصفوفة 3×3:
4,12,-16|12,37,-43|-16,-43,98
تتحقق الحاسبة أولًا من كون مصفوفتك متماثلة (أي أن كل عنصر خارج القطر Aij يجب أن يساوي Aji، ضمن هامش تسامح قدره 1e-10). فإذا كانت متماثلة وموجبة التحديد، تحسب الأداة المصفوفة المثلثية السفلية L وتعرضها مع المحدّد. أما إذا لم تكن المصفوفة متماثلة أو لم تكن موجبة التحديد، فلا يمكن إجراء التحليل.
شرح الصيغة الرياضية
يحسب الخوارزم كل عنصر من عناصر L كما يلي:
- عناصر القطر: \(L_{jj} = \sqrt{A_{jj} - \sum_{k
- العناصر أسفل القطر: \(L_{ij} = \dfrac{A_{ij} - \sum L_{ik} L_{jk}}{L_{jj}}\) حيث i > j
ويساوي المحدّد حاصل ضرب مربعات عناصر القطر في المصفوفة L.
$$A = L\,L^{\mathsf{T}}, \qquad \det(A) = \prod_{i=1}^{n} L_{ii}^{2}$$
مثال محلول
لنأخذ المصفوفة 3×3 التالية: 4,12,-16|12,37,-43|-16,-43,98. وبتطبيق الصيغة خطوة بخطوة:
- \(L_{11} = \sqrt{4} = 2\)
- \(L_{21} = 12 / 2 = 6\)، و \(L_{22} = \sqrt{37 - 36} = 1\)
- \(L_{31} = -16 / 2 = -8\)، و \(L_{32} = (-43 - (-8)(6)) / 1 = 5\)، و \(L_{33} = \sqrt{98 - 64 - 25} = 3\)
وبذلك تكون \(L = [[2,0,0],[6,1,0],[-8,5,3]]\)، ويكون المحدّد \(= (2 \cdot 1 \cdot 3)^{2} = 36\).
الأسئلة الشائعة
لماذا لا تُظهر مصفوفتي أي نتيجة؟ يجب أن تكون المصفوفة متماثلة (Aij = Aji) وموجبة التحديد (جميع قيمها الذاتية موجبة). فإذا لم يتحقق أحد الشرطين، فلا يوجد عامل تشوليسكي.
هل يجب أن تكون المصفوفة مربعة؟ نعم. فلا بد أن يحتوي كل صف على عدد من القيم مساوٍ لعدد الصفوف، وأن تكون متماثلة.
كيف يُحسب المحدّد؟ هو حاصل ضرب مربعات عناصر قطر المصفوفة L، وهو يساوي محدّد المصفوفة الأصلية A.
