Qu'est-ce que le calculateur de décomposition de Cholesky ?
Ce calculateur factorise une matrice symétrique définie positive A sous la forme du produit \(A = L \cdot L^{\mathsf{T}}\), où L est une matrice triangulaire inférieure et \(L^{\mathsf{T}}\) sa transposée. La décomposition de Cholesky est environ deux fois plus efficace que la décomposition LU et s'utilise abondamment en algèbre linéaire numérique, en simulation de Monte-Carlo, pour résoudre des systèmes linéaires ou des problèmes de moindres carrés. En prime, l'outil renvoie également le déterminant de votre matrice.
Comment l'utiliser
Un seul champ de saisie est nécessaire : Matrice à saisir. Entrez votre matrice en séparant les valeurs d'une même ligne par des virgules, et en utilisant la barre verticale | pour passer à la ligne suivante.
- Un exemple en 2×2 :
4,12|12,37 - Un exemple en 3×3 :
4,12,-16|12,37,-43|-16,-43,98
Le calculateur vérifie d'abord que votre matrice est symétrique (chaque terme hors diagonale \(A_{ij}\) doit être égal à \(A_{ji}\), à une tolérance de 1e-10 près). Si elle est symétrique et définie positive, il calcule et affiche la matrice triangulaire inférieure L ainsi que le déterminant. Si la matrice n'est pas symétrique ou n'est pas définie positive, la décomposition ne peut pas être effectuée.
La formule expliquée
Pour chaque terme de L, l'algorithme calcule :
- Diagonale : \(L_{jj} = \sqrt{A_{jj} - \sum L_{jk}^{2}}\) pour k < j
- Sous la diagonale : \(L_{ij} = (A_{ij} - \sum L_{ik}L_{jk}) / L_{jj}\) pour i > j
Le déterminant est égal au produit des carrés des termes diagonaux de L.
$$A = L\,L^{\mathsf{T}}, \qquad \det(A) = \prod_{i=1}^{n} L_{ii}^{2}$$
Exemple détaillé
Prenons la matrice 3×3 4,12,-16|12,37,-43|-16,-43,98. En appliquant la formule étape par étape :
- \(L_{11} = \sqrt{4} = 2\)
- \(L_{21} = 12 / 2 = 6\), \(L_{22} = \sqrt{37 - 36} = 1\)
- \(L_{31} = -16 / 2 = -8\), \(L_{32} = (-43 - (-8)(6)) / 1 = 5\), \(L_{33} = \sqrt{98 - 64 - 25} = 3\)
On obtient donc L = [[2,0,0],[6,1,0],[−8,5,3]], et le déterminant = \((2\cdot1\cdot3)^{2} = 36\).
Questions fréquentes
Pourquoi ma matrice ne renvoie-t-elle aucun résultat ? La matrice doit être symétrique (\(A_{ij} = A_{ji}\)) et définie positive (toutes ses valeurs propres positives). Si l'une de ces conditions n'est pas remplie, aucun facteur de Cholesky n'existe.
La matrice doit-elle être carrée ? Oui. Chaque ligne doit comporter autant de valeurs qu'il y a de lignes, et la matrice doit être symétrique.
Comment le déterminant est-il calculé ? C'est le produit des carrés des termes diagonaux de L, qui correspond au déterminant de la matrice d'origine A.
