촐레스키 분해 계산기란?
이 계산기는 대칭 양의 정부호(symmetric, positive-definite) 행렬 A를 \(A = L \cdot L^{\mathsf{T}}\) 형태로 분해합니다. 여기서 L은 하삼각행렬이고 \(L^{\mathsf{T}}\)는 그 전치행렬입니다. 촐레스키 분해는 LU 분해보다 약 2배 효율적이어서 수치 선형대수, 몬테카를로 시뮬레이션, 선형 연립방정식 풀이, 최소제곱 문제 등에서 폭넓게 활용됩니다. 또한 분해 과정의 부산물로 입력 행렬의 행렬식(determinant)도 함께 알려 줍니다.
사용 방법
입력란은 입력 행렬(Input Matrix) 하나뿐입니다. 같은 행 안의 값은 쉼표(,)로 구분하고, 새 행은 파이프 기호 |로 시작하면 됩니다.
- 2×2 예시:
4,12|12,37 - 3×3 예시:
4,12,-16|12,37,-43|-16,-43,98
계산기는 먼저 입력 행렬이 대칭인지 확인합니다(대각선 밖의 모든 성분 \(A_{ij}\)가 \(A_{ji}\)와 같아야 하며, 허용 오차는 1e-10입니다). 행렬이 대칭이면서 양의 정부호라면 하삼각행렬 L과 행렬식을 계산해 표시합니다. 대칭이 아니거나 양의 정부호가 아니라면 분해를 수행할 수 없습니다.
공식 설명
L의 각 성분은 다음과 같이 계산됩니다.
- 대각 성분: $$L_{jj} = \sqrt{A_{jj} - \sum_{k
- 대각선 아래 성분: $$L_{ij} = \frac{A_{ij} - \sum L_{ik} L_{jk}}{L_{jj}}$$ (\(i > j\))
행렬식은 L의 대각 성분을 각각 제곱한 값을 모두 곱한 것과 같습니다.
예제 풀이
3×3 행렬 4,12,-16|12,37,-43|-16,-43,98을 공식에 따라 차근차근 계산해 보겠습니다.
- $$L_{11} = \sqrt{4} = 2$$
- $$L_{21} = \frac{12}{2} = 6, \qquad L_{22} = \sqrt{37 - 36} = 1$$
- $$L_{31} = \frac{-16}{2} = -8, \qquad L_{32} = \frac{-43 - (-8)(6)}{1} = 5, \qquad L_{33} = \sqrt{98 - 64 - 25} = 3$$
따라서 \(L = [[2,0,0],[6,1,0],[-8,5,3]]\)이며, 행렬식 \(= (2 \cdot 1 \cdot 3)^{2} = 36\)입니다.
자주 묻는 질문
왜 결과가 나오지 않나요? 행렬은 반드시 대칭(\(A_{ij} = A_{ji}\))이면서 양의 정부호(모든 고윳값이 양수)여야 합니다. 두 조건 중 하나라도 만족하지 못하면 촐레스키 인수가 존재하지 않습니다.
행렬이 꼭 정사각이어야 하나요? 네. 각 행의 값 개수가 행의 개수와 같아야 하며, 대칭이어야 합니다.
행렬식은 어떻게 계산되나요? L의 대각 성분을 각각 제곱한 값들의 곱으로 구하며, 이는 원래 행렬 A의 행렬식과 같습니다.
