이 계산기의 기능
이 도구는 분모가 서로 다른 두 개의 1차 인수로 이루어진 진분수 형태의 유리식을 부분분수로 분해합니다. 분자가 px + q 꼴이고 분모가 (x − a)(x − b)일 때, 이 분수를 A/(x − a)와 B/(x − b)라는 두 개의 간단한 항으로 나눠 줍니다. 부분분수 분해는 대수학과 미적분학에서 가장 자주 쓰이는 기법 중 하나로, 특히 유리함수를 적분할 때 큰 도움이 됩니다.
사용 방법
먼저 분자의 계수 p와 q를 입력하세요(분자가 px + q가 되도록). 그다음 인수 (x − a)와 (x − b)를 결정하는 두 근 a와 b를 입력합니다. 두 근은 서로 달라야 합니다. 계산기는 이 분해가 정확한 항등식이 되도록 만드는 상수 A와 B를 돌려줍니다.
공식 풀이
우리는 \(\frac{px+q}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}\)가 성립하기를 원합니다. 양변에 분모를 곱하면 \(px + q = A(x - b) + B(x - a)\)가 됩니다. 이때 가리기(cover-up) 방법을 쓰면 편리합니다. x = a를 대입하여 A를 분리하면 $$A = \frac{pa + q}{a - b}$$ x = b를 대입하여 B를 분리하면 $$B = \frac{pb + q}{b - a}$$ 가 됩니다. 계산기는 바로 이 두 닫힌 형태의 식을 계산합니다.
예제로 보기
\(\frac{3x + 5}{(x - 1)(x - 2)}\)를 분해해 봅시다. 여기서 p = 3, q = 5, a = 1, b = 2입니다. 그러면 $$A = \frac{3\cdot 1 + 5}{1 - 2} = \frac{8}{-1} = -8$$ 이고, $$B = \frac{3\cdot 2 + 5}{2 - 1} = \frac{11}{1} = 11$$ 입니다. 따라서 분해 결과는 \(\frac{-8}{x - 1} + \frac{11}{x - 2}\)가 됩니다.
자주 묻는 질문
왜 a와 b가 서로 달라야 하나요? 만약 a = b라면 분모에 중복된 인수 \((x - a)^2\)가 생깁니다. 이 경우에는 \(\frac{A}{x - a} + \frac{B}{(x - a)^2}\)처럼 다른 형태가 필요하므로, 이 간단한 두 항짜리 공식은 더 이상 적용할 수 없습니다.
분자는 반드시 px + q 꼴이어야 하나요? 분자의 차수는 분모보다 낮아야 합니다(진분수). 여기서는 1차 분자 px + q가 일반적인 경우이며, 분자가 상수일 때는 p = 0으로 두면 됩니다.
인수가 (x + c) 꼴이면 어떻게 하나요? (x + c)를 (x − (−c))로 다시 쓰면 됩니다. 이때 해당하는 근은 a = −c가 됩니다.
