Ce que fait ce calculateur
Cet outil réalise la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle propre dont le dénominateur comporte deux facteurs linéaires distincts. À partir d'un numérateur de la forme px + q et d'un dénominateur (x − a)(x − b), il scinde la fraction en deux termes élémentaires : \(\frac{A}{x - a}\) et \(\frac{B}{x - b}\). C'est l'une des techniques les plus courantes en algèbre et en analyse, notamment pour intégrer des fonctions rationnelles.
Comment l'utiliser
Saisissez les coefficients du numérateur p et q (le haut de la fraction est donc px + q), puis indiquez les deux racines a et b qui définissent les facteurs (x − a) et (x − b). Les deux racines doivent être différentes. Le calculateur renvoie les constantes A et B qui font de la décomposition une identité exacte.
La formule expliquée
On impose $$\frac{p\,x + q}{(x - a)(x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b}.$$ En réduisant au même dénominateur, on obtient \(px + q = A(x - b) + B(x - a)\). La méthode du « cache » consiste à remplacer x par a pour isoler A : $$A = \frac{p\,a + q}{a - b}.$$ Puis on remplace x par b pour isoler B : $$B = \frac{p\,b + q}{b - a}.$$ Ce sont précisément ces deux expressions explicites que le calculateur évalue.
Exemple résolu
Décomposons \(\frac{3x + 5}{(x - 1)(x - 2)}\). Ici \(p = 3\), \(q = 5\), \(a = 1\), \(b = 2\). On a alors $$A = \frac{3\cdot 1 + 5}{1 - 2} = \frac{8}{-1} = -8,$$ et $$B = \frac{3\cdot 2 + 5}{2 - 1} = \frac{11}{1} = 11.$$ La décomposition est donc \(\frac{-8}{x - 1} + \frac{11}{x - 2}\).
FAQ
Pourquoi a et b doivent-elles être distinctes ? Si \(a = b\), le dénominateur possède un facteur répété \((x - a)^2\), qui exige une autre forme : \(\frac{A}{x - a} + \frac{B}{(x - a)^2}\). La formule simple à deux termes ne s'applique alors plus.
Le numérateur doit-il forcément être px + q ? Le numérateur doit être de degré strictement inférieur à celui du dénominateur (fraction propre). Un numérateur linéaire px + q est le cas général ici ; posez \(p = 0\) pour un numérateur constant.
Et si mes facteurs ressemblent à (x + c) ? Réécrivez \((x + c)\) sous la forme \((x - (-c))\), de sorte que la racine correspondante soit \(a = -c\).
