この計算ツールでできること
このツールは、分母が異なる2つの1次因数からなる「真分数（次数の低い有理式）」の部分分数分解を行います。分子が px + q の形、分母が (x − a)(x − b) のとき、もとの分数を A/(x − a) と B/(x − b) という2つのシンプルな項に分けます。これは代数学・微積分でよく使われる基本テクニックで、特に有理関数を積分するときに欠かせません。
使い方
まず分子の係数 p と q を入力します（分子は px + q になります）。次に、因数 (x − a) と (x − b) を決める2つの根 a と b を入力してください。2つの根は必ず異なる値である必要があります。入力が終わると、分解が恒等式として完全に成り立つような定数 A と B が表示されます。
計算式の解説
求めたいのは $$\frac{px+q}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$$ が成り立つことです。両辺に分母を掛けると \(px + q = A(x - b) + B(x - a)\) となります。ここで「カバーアップ法（隠す方法）」を使います。\(x = a\) を代入すると A が求まり $$A = \frac{pa + q}{a - b}$$ \(x = b\) を代入すると B が求まり $$B = \frac{pb + q}{b - a}$$ です。この2つの閉じた式を、本ツールがそのまま計算しています。
計算例
\(\frac{3x + 5}{(x - 1)(x - 2)}\) を分解してみましょう。ここで \(p = 3\)、\(q = 5\)、\(a = 1\)、\(b = 2\) です。すると $$A = \frac{3\cdot 1 + 5}{1 - 2} = \frac{8}{-1} = -8$$ $$B = \frac{3\cdot 2 + 5}{2 - 1} = \frac{11}{1} = 11$$ となります。したがって分解結果は $$\frac{-8}{x - 1} + \frac{11}{x - 2}$$ です。
よくある質問
なぜ a と b は異なる値でなければならないの？ もし \(a = b\) だと分母が重複因数 \((x - a)^2\) になり、\(\frac{A}{x - a} + \frac{B}{(x - a)^2}\) という別の形が必要になります。そのため、この2項のシンプルな公式はそのままでは使えません。
分子は必ず px + q の形でないとダメ？ 分子は分母より次数が低い（真分数である）必要があります。1次の分子 \(px + q\) はその一般的なケースです。分子が定数の場合は \(p = 0\) と入力してください。
因数が (x + c) の形のときは？ \((x + c)\) を \((x - (-c))\) と書き換えれば、対応する根は \(a = -c\) になります。
