比を分数に変換する計算機とは？
このツールは「A：B」という形で表された比を1つまたは複数の分数に変換し、それぞれを最も簡単な形（既約分数）まで約分します。比には2通りのよくある解釈があり、本ツールはその両方に対応しています。1つは部分対部分で、AとBが同じ全体を構成する2つの要素である場合。もう1つは部分対全体で、Bが全体の合計を表し、Aがそのうちの一部を表す場合です。
使い方
まず比の種類を選び、AとBにそれぞれ正の整数を入力します。AとBが別々の取り分を表す場合（たとえば猫3匹に対して犬9匹）は部分対部分を選びます。Bがすでに合計を表している場合（たとえば生徒14人のうち6人）は部分対全体を選びます。「計算する」を押すと、元の分数、約分後の分数、そして文章による解き方が表示されます。
計算式の解説
部分対部分モードでは、全体は各項の和になります（全体 ＝ A ＋ B）。項Aは分数 \(\frac{A}{A+B}\) に、項Bは分数 \(\frac{B}{A+B}\) になります。
$$\text{Fraction} = \frac{\text{A}}{\text{A} + \text{B}} \;,\quad \frac{\text{B}}{\text{A} + \text{B}}$$
部分対全体モードでは分母がB自身となるため、比はそのまま \(\frac{A}{B}\) に変換されます。
$$\text{Fraction} = \frac{\text{A}}{\text{B (whole)}}$$
続いて、各分数は分子と分母を両者の最大公約数で割ることで約分されます。最大公約数はユークリッドの互除法で求められ、\(\gcd(x, 0) = x\)、\(\gcd(x, y) = \gcd(y, x \bmod y)\) と定義されます。
計算例
部分対部分モードで比 3：9 を考えてみましょう。全体は \(3 + 9 = 12\) なので、分数は \(\frac{3}{12}\) と \(\frac{9}{12}\) になります。\(\gcd(3, 12) = 3\) なので最初の分数は \(\frac{1}{4}\) に約分され、\(\gcd(9, 12) = 3\) なので2番目の分数は \(\frac{3}{4}\) に約分されます。つまり、項Aは全体の \(\frac{1}{4}\)、項Bは全体の \(\frac{3}{4}\) にあたります。
よくある質問
2つのモードの違いは何ですか？ 部分対部分は \(A + B\) を分母として使い、部分対全体は B を分母として使います。同じ数値でも、選んだモードによって得られる分数は異なります。
部分対全体モードでAがBより大きくてもよいですか？ 入力自体は可能ですが、その場合は結果が1を超える仮分数となり、もはや「全体の一部」を表すものではなくなります。
比がすでに既約の場合はどうなりますか？ 最大公約数が1のときは、約分後の分数は元の分数と同じになり、そのまま変化せずに表示されます。
