Калькулятор разложения дроби на простейшие

Введите расчет

Коэффициент числителя p (для px + q)

Свободный член числителя q

Корень a (множитель x − a)

Корень b (множитель x − b)

Результатов

Разложение на простейшие дроби

A = -1,5, B = 2,5

= -1,5/(x − a) + 2,5/(x − b)

Коэффициент A	-1,5
Коэффициент B	2,5

Что делает этот калькулятор

Этот инструмент выполняет разложение на простейшие дроби для правильной рациональной дроби, у которой в знаменателе стоят два различных линейных множителя. Если числитель имеет вид px + q, а знаменатель — (x − a)(x − b), калькулятор раскладывает дробь на два простых слагаемых: \(\frac{A}{x - a}\) и \(\frac{B}{x - b}\). Это один из базовых приёмов алгебры и математического анализа, который особенно часто используют при интегрировании рациональных функций.

Как пользоваться

Введите коэффициенты числителя p и q (то есть верх дроби равен \(px + q\)), а затем два корня a и b, задающие множители \((x - a)\) и \((x - b)\). Корни обязательно должны быть разными. Калькулятор вернёт константы A и B, при которых разложение становится точным тождеством.

Разбор формулы

Нам нужно, чтобы выполнялось равенство $$\frac{p\,x + q}{(x - a)(x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b}.$$ После умножения обеих частей на знаменатель получаем \(p x + q = A(x - b) + B(x - a)\). Применяем метод «вычёркивания» (подстановки корня): подставив \(x = a\), выделяем A: $$A = \frac{p\,a + q}{a - b}.$$ Подставив \(x = b\), выделяем B: $$B = \frac{p\,b + q}{b - a}.$$ Именно эти две готовые формулы и вычисляет калькулятор.

Реклама

Разложение на простейшие дроби разбивает одну дробь на сумму двух более простых по каждому линейному множителю.

Пример с решением

Разложим \(\frac{3x + 5}{(x - 1)(x - 2)}\). Здесь \(p = 3\), \(q = 5\), \(a = 1\), \(b = 2\). Тогда $$A = \frac{3\cdot 1 + 5}{1 - 2} = \frac{8}{-1} = -8,$$ а $$B = \frac{3\cdot 2 + 5}{2 - 1} = \frac{11}{1} = 11.$$ Значит, разложение имеет вид $$\frac{-8}{x - 1} + \frac{11}{x - 2}.$$

Метод закрытия: подставьте каждый корень в оставшееся выражение, чтобы найти A и B.

Частые вопросы

Почему a и b должны быть разными? Если \(a = b\), в знаменателе появляется кратный множитель \((x - a)^2\), для которого нужна другая форма разложения: \(\frac{A}{x - a} + \frac{B}{(x - a)^2}\). В этом случае простая формула из двух слагаемых уже не работает.

Обязательно ли числитель должен быть px + q? Степень числителя должна быть меньше степени знаменателя (дробь должна быть правильной). Линейный числитель \(px + q\) — это общий случай; чтобы числитель был константой, просто задайте \(p = 0\).

А если мои множители выглядят как (x + c)? Перепишите \((x + c)\) как \((x - (-c))\) — тогда соответствующий корень равен \(a = -c\).