N×N 연립일차방정식 풀이 계산기 (LU 분해)

계산 입력

방정식 / 미지수의 개수 (n) 행렬 A는 n×n 정사각 행렬이고 벡터 b의 길이는 n입니다. 2부터 10까지 가능합니다.

계수 행렬 A (한 줄에 한 행씩) 2 1 -1 -3 -1 2 -2 1 2 한 줄에 한 행씩, 숫자는 공백이나 쉼표로 구분하세요.

상수 벡터 b 길이 n의 목록으로, 숫자는 공백이나 쉼표로 구분하세요.

표시 정밀도 (유효숫자) 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

공식

Show calculation steps (1)

1. Determinant from LU Pivots

   

   After Gaussian elimination with partial pivoting, det(A) equals the product of the U diagonal pivots, with sign flipped once per row swap.

결과

해 벡터 x

x1 = 2, x2 = 3, x3 = -1

연립방정식 크기 (n)	3
행렬 A의 행렬식	-1
계산 방법	부분 피벗팅을 적용한 LU 분해

이 계산기의 기능

이 도구는 미지수가 n개인 n원 연립일차방정식을 풉니다. 이를 간단히 \(\mathbf{A}\,\mathbf{x} = \mathbf{b}\)로 표기하는데, 여기서 A는 n×n 계수 행렬, x는 미지수 벡터, b는 상수 벡터입니다. 계산기는 유일해 벡터 x와 함께 행렬 A의 행렬식을 함께 반환합니다. 사용하는 방법은 순수한 선형대수이므로 어느 나라에서든 동일하게 작동하며, 국가나 단위에 따른 차이가 전혀 없습니다. 입력하는 모든 값은 그저 실수일 뿐입니다.

n개의 선형 방정식 계를 A·x = b로 간결하게 표현한 것.

사용 방법

먼저 n(방정식과 미지수의 개수)을 정합니다. 계수 행렬 A를 한 줄에 한 행씩 입력하되 숫자는 공백이나 쉼표로 구분하고, 이어서 상수 벡터 b를 길이 n의 목록으로 입력합니다. 표시할 정밀도를 선택한 뒤 풀이를 실행하면 됩니다. 음수, 소수, 소수 형태의 값 모두 입력할 수 있습니다. A의 행과 열 개수가 n과 같고 b의 길이도 n과 일치하면 해가 계산되며, 그렇지 않으면 차원이 맞지 않는다는 안내가 표시됩니다.

계산 원리

이 계산기는 부분 피벗팅(partial pivoting)을 적용한 가우스 소거법을 수행합니다. 이는 수학적으로 LU 분해 \(\mathbf{P}\mathbf{A} = \mathbf{L}\mathbf{U}\)와 동일합니다. 각 열마다 사용할 수 있는 피벗 중 절댓값이 가장 큰 값을 선택해 수치적 안정성을 확보하고, 피벗 아래의 성분을 소거한 뒤, 마지막 미지수부터 위로 올라가며 후진 대입을 진행합니다. 만약 피벗이 사실상 0이라면 행렬식이 0이 되어 행렬이 특이 행렬(singular)이 되고, 따라서 유일해가 존재하지 않습니다. 이 경우 계산기는 0으로 나누는 대신 이를 알려줍니다.

$$\begin{gathered} \mathbf{A}\,\mathbf{x} = \mathbf{b}, \qquad \mathbf{A} = \mathbf{L}\mathbf{U} \\[1.5em] \text{solve}\quad \left\{ \begin{aligned} \mathbf{L}\mathbf{y} &= \mathbf{b} \quad(\text{forward}) \\ \mathbf{U}\mathbf{x} &= \mathbf{y} \quad(\text{back substitution}) \end{aligned} \right. \end{gathered}$$ $$\det(\mathbf{A}) = (-1)^{s}\prod_{k=1}^{n} u_{kk}$$

LU 분해는 A를 하삼각 행렬 L과 상삼각 행렬 U로 분해한다.

예제 풀이

다음 식을 살펴봅시다. \(2x + y - z = 8\), \(-3x - y + 2z = -11\), \(-2x + y + 2z = -3\). 즉 \(\mathbf{A} = [[2,1,-1],[-3,-1,2],[-2,1,2]]\), \(\mathbf{b} = [8,-11,-3]\)입니다. 소거 과정을 거치면 \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\)이 나옵니다. 첫 번째 식에 대입해 확인하면 $$2(2) + 3 - (-1) = 4 + 3 + 1 = 8$$로 정확히 맞습니다.

자주 묻는 질문

행렬식이 0이면 어떻게 되나요? 행렬이 특이 행렬이라는 뜻으로, 방정식이 서로 종속이거나 모순이 됩니다. 이 경우 유일한 해가 존재하지 않으므로 계산기는 특이 행렬임을 알려줍니다.

왜 부분 피벗팅을 사용하나요? 절댓값이 가장 큰 값을 피벗으로 선택하면 반올림 오차가 증폭되는 것을 막을 수 있어, 까다로운 행렬에서도 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.

해가 정수가 아닐 수도 있나요? 그렇습니다. 해는 부동소수점으로 계산되어 소수가 될 수 있으며, 표시 정밀도 설정으로 유효숫자를 몇 자리까지 보여줄지 조절할 수 있습니다.