이 계산기로 할 수 있는 일
이 도구는 미지수 3개(x, y, z)로 이루어진 일차방정식 3개의 연립방정식을 풀어 줍니다. 다음과 같은 표준형으로 각 방정식의 계수를 입력하면 됩니다.
$$a_1x + b_1y + c_1z = d_1$$
$$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$$
$$a_3x + b_3y + c_3z = d_3$$
계산기는 x, y, z의 유일한 값과 함께 계수행렬의 행렬식 \(\det(A)\)도 함께 알려 줍니다. 음수, 분수, 소수를 포함한 모든 실수 계수에 대해 작동합니다.
사용 방법
각 행이 방정식 하나에 해당합니다. x 앞의 계수(a), y 앞의 계수(b), z 앞의 계수(c)를 차례로 입력한 뒤, 등호 오른쪽의 상수(d)를 넣어 주세요. 값을 입력하기 전에 모든 변수는 왼쪽으로, 상수는 오른쪽으로 정리해야 합니다. 예를 들어 방정식이 \(5 = 2x - y\) 형태라면 \(2x - y + 0z = 5\) 로 바꿔서 입력하세요.
공식 설명
이 계산기는 크라메르 공식(Cramer's rule)을 사용합니다. 먼저 계수행렬 A의 행렬식을 구합니다. 그다음 각 변수에 대해 A의 해당 열을 상수 열 d로 바꾼 행렬의 행렬식을 계산합니다. 이 둘을 나누면 변수의 값이 나옵니다.
$$x = \dfrac{\det(A_x)}{\det(A)},\quad y = \dfrac{\det(A_y)}{\det(A)},\quad z = \dfrac{\det(A_z)}{\det(A)}$$
만약 \(\det(A) = 0\) 이면 크라메르 공식을 쓸 수 없습니다. 이 경우 연립방정식은 유일한 해를 갖지 않으며(해가 없거나 무수히 많음), 계산기가 이를 알려 줍니다.
풀이 예제
다음을 풀어 봅시다: \(2x + y - z = 8\), \(-3x - y + 2z = -11\), \(-2x + y + 2z = -3\).
$$\det(A) = -1$$ 입니다. 크라메르 공식을 적용하면 \(\det(A_x) = -2\), \(\det(A_y) = -3\), \(\det(A_z) = 1\) 이 되어 \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\) 입니다. 직접 검산해 볼 수 있습니다: $$2(2)+3-(-1)=8 \checkmark.$$
결과 해석
3×3 시스템의 각 방정식은 3차원 공간에서 평면을 나타냅니다. 해는 세 평면이 모두 만나는 곳이며, 행렬식 \(D=\det(A)\)의 값은 세 가지 경우 중 어느 것에 해당하는지 알려줍니다.
\(D\neq0\): 유일해
계수 행렬식이 0이 아닐 때, 세 평면은 정확히 한 점에서 교차합니다. 크래머 법칙은 단일 \((x,y,z)\)를 반환하며, 이 순서쌍이 세 방정식을 동시에 만족하는 유일한 값의 집합입니다. 이는 일관되고 독립적인 시스템입니다. 출력 \(x=D_x/D\), \(y=D_y/D\), \(z=D_z/D\)는 정확합니다(반올림 범위 내에서) 원래 방정식에 대입하여 검증할 수 있습니다.
\(D=0\): 유일해 없음
\(D=0\)일 때 행렬은 특이행렬이고 크래머 법칙으로 나눌 수 없습니다. 두 가지 하위 경우가 존재합니다:
- 모순 — 해 없음. 평면들이 공통점을 갖지 않습니다(예를 들어 두 개 이상이 평행하거나, 삼각기둥 배치를 형성하여 단일 점이 세 평면 모두에 위치하지 않음). 시스템은 해가 0개입니다.
- 종속 — 무한히 많은 해. 평면들이 전체 직선을 공유하거나 일치합니다. 여기서 방정식들은 독립적이지 않으며, 일반적으로 자유 변수로 설명되는 \((x,y,z)\) 순서쌍의 무한 족이 존재합니다.
행렬식만으로는 이 두 경우를 구분할 수 없습니다. 방정식을 검토하여(예: 행 소거를 통해) 모순인지 중복인지 확인해야 합니다.
x, y, z 출력 읽기
반환된 세 수는 모든 방정식을 참으로 만드는 좌표입니다. 값은 음수, 0, 또는 분수일 수 있습니다. 계산기가 \(D=0\)을 보고하면 답을 주의 깊게 다루고 나눗셈 결과를 믿기보다는 시스템을 다시 검토하세요.
정의 & 용어집
- 계수 행렬 \(A\)
- 각 방정식의 좌변에서 \(x, y, z\)를 곱하는 수들의 3×3 배열입니다: 행은 방정식이고, 열은 \(x\), \(y\), \(z\)에 대응됩니다.
- 상수 벡터 \(d\)
- 방정식이 같아지는 우변 값들의 열 \((d_1, d_2, d_3)\)입니다.
- 행렬식 \(\det(A)\) (또는 \(D\))
- 정방행렬로부터 계산된 단일 스칼라로, 행렬이 가역인지 여부를 측정합니다. \(\det(A)\neq0\)이면 유일해가 존재합니다.
- 크래머 법칙
- 각 변수를 행렬식의 비로 작성하여 정방 선형 시스템을 푸는 방법입니다: \(x=D_x/D\), \(y=D_y/D\), \(z=D_z/D\), 여기서 \(D_x, D_y, D_z\)는 일치하는 열을 \(d\)로 바꾼 것입니다.
- 사뤼스 법칙
- 3×3 행렬의 행렬식을 위한 지름길입니다: 좌상단에서 우하단으로 달리는 세 대각선을 합하고 우상단에서 좌하단으로 달리는 세 대각선을 뺍니다.
- 특이행렬
- 행렬식이 \(0\)인 정방행렬입니다. 역행렬이 없으므로 크래머 법칙은 유일해를 산출하지 못합니다.
- 유일해
- 정확히 하나의 \((x,y,z)\)가 시스템을 만족합니다. \(D\neq0\)일 때 발생합니다.
- 일관된 시스템
- 적어도 하나의 해(하나 또는 무한히 많음)를 갖는 시스템입니다.
- 종속 시스템
- 방정식들이 모두 독립적이지 않기 때문에 무한히 많은 해를 갖는 일관된 시스템입니다.
- 모순 시스템
- 해가 전혀 없는 시스템입니다. 방정식들이 서로 모순됩니다.
- 행당 \(a, b, c, d\)
- 행 \(i\) 내에서 \(a_i\)는 \(x\)-계수, \(b_i\)는 \(y\)-계수, \(c_i\)는 \(z\)-계수, \(d_i\)는 우변의 상수입니다.
자주 묻는 질문
\(\det(A)\)가 0이면 어떻게 되나요? 세 평면이 한 점에서 만나지 않으므로 유일한 (x, y, z) 해가 존재하지 않습니다. 이 연립방정식은 해가 없거나(불능) 무수히 많은(부정) 경우입니다.
소수나 분수를 사용할 수 있나요? 가능합니다. 소수는 그대로 입력하면 됩니다(\(1/2\) 대신 \(0.5\)로 입력하세요).
크라메르 공식은 정확한가요? 3×3 연립방정식에서는 일반적인 입력값에 대해 정확하고 안정적입니다. 값이 아주 크거나 행렬식이 0에 가까운 경우에는 마지막 소수 자리에서 약간의 반올림 오차가 나타날 수 있습니다.
