ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تحل هذه الأداة نظامًا مكوّنًا من ثلاث معادلات خطية بثلاثة مجاهيل (x، y، z). كل ما عليك هو إدخال معاملات المعادلات في صيغتها القياسية:
$$a_1x + b_1y + c_1z = d_1$$
$$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$$
$$a_3x + b_3y + c_3z = d_3$$
تعرض الحاسبة القيم الفريدة لكل من x وy وz، إضافةً إلى محدد مصفوفة المعاملات \(\det(A)\). وهي تعمل مع أي معاملات حقيقية، بما في ذلك الأعداد السالبة والكسور والأعداد العشرية.
طريقة الاستخدام
يمثّل كل صف معادلة واحدة. اكتب المعامل الموجود أمام x (أي a)، ثم أمام y (أي b)، ثم أمام z (أي c)، وأخيرًا الثابت الموجود في الطرف الأيمن (أي d). احرص على نقل جميع المتغيرات إلى طرف واحد والثابت إلى الطرف الآخر قبل إدخال القيم. فإذا كانت معادلتك مكتوبة بالشكل \(5 = 2x - y\)، فأعد كتابتها على النحو \(2x - y + 0z = 5\).
شرح القانون
يعتمد الحل على قاعدة كرامر. نحسب أولًا محدد مصفوفة المعاملات A. ثم نستبدل، لكل متغير، العمود المقابل له في المصفوفة A بعمود الثوابت d، ونحسب محدد المصفوفة الناتجة. وبقسمة المحددات نحصل على قيمة المتغير:
$$x = \dfrac{\det(A_x)}{\det(A)},\quad y = \dfrac{\det(A_y)}{\det(A)},\quad z = \dfrac{\det(A_z)}{\det(A)}$$
أما إذا كان \(\det(A) = 0\)، فإن قاعدة كرامر لا تنطبق، إذ لا يكون للنظام حل فريد (فإما ألا يكون له حل أو أن يكون له عدد لا نهائي من الحلول)، وتنبّهك الحاسبة إلى ذلك.
مثال محلول
حُلّ المعادلات \(2x + y - z = 8\)، و\(-3x - y + 2z = -11\)، و\(-2x + y + 2z = -3\).
نجد أن \(\det(A) = -1\). وبتطبيق قاعدة كرامر نحصل على \(\det(A_x) = -2\) و\(\det(A_y) = -3\) و\(\det(A_z) = 1\)، ومن ثَمّ \(x = 2\) و\(y = 3\) و\(z = -1\). ويمكنك التحقق: $$2(2)+3-(-1)=8 \checkmark$$
تفسير نتيجتك
كل معادلة في نظام 3×3 تصف مستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد. الحل هو حيث تلتقي جميع المستويات الثلاثة، وقيمة المحدد \(D=\det(A)\) تخبرك بأي من الحالات الثلاث أنت فيها.
\(D\neq0\): حل فريد
عندما يكون المحدد الموضح غير صفري، فإن المستويات الثلاثة تتقاطع عند نقطة واحدة بالضبط. تعطي قاعدة كرامر ثلاثية مرتبة واحدة \((x,y,z)\)، وهذه الثلاثية المرتبة هي المجموعة الوحيدة من القيم التي تحقق جميع المعادلات الثلاث في نفس الوقت. هذا نظام متسق ومستقل. الناتج \(x=D_x/D\)، \(y=D_y/D\)، \(z=D_z/D\) دقيق (ضمن التقريب) ويمكن التحقق منه بالتعويض في المعادلات الأصلية.
\(D=0\): لا يوجد حل فريد
عندما يكون \(D=0\) تكون المصفوفة منفردة ولا تستطيع قاعدة كرامر إجراء القسمة. يوجد حالتان فرعيتان:
- غير متسق — لا يوجد حل. المستويات لا تملك نقطة مشتركة (على سبيل المثال، اثنان أو أكثر متوازيان، أو يشكلان ترتيباً على شكل موشور مثلثي حيث لا توجد نقطة واحدة على الثلاثة جميعاً). النظام له حل صفري.
- معتمد — عدد لا نهائي من الحلول. المستويات تشترك في خط كامل (أو تتطابق). هنا المعادلات ليست مستقلة، وهناك عدد لا نهائي من ثلاثيات \((x,y,z)\)، عادة ما يوصف بمعامل حر.
المحدد وحده لا يستطيع التمييز بين الحالتين؛ يجب أن تفحص المعادلات (على سبيل المثال، عبر تقليل الصفوف) لترى ما إذا كانت متناقضة أو زائدة عن الحاجة.
قراءة ناتج x و y و z
الأرقام الثلاثة المرجعة هي الإحداثيات التي تجعل كل معادلة صحيحة. يمكن أن تكون القيمة سالبة أو صفراً أو كسرية. إذا أبلغ الحاسبة أن \(D=0\)، تعامل مع الإجابة بحذر وأعد فحص النظام بدلاً من الاعتماد على نتيجة مقسومة.
التعريفات والمسرد
- مصفوفة المعاملات \(A\)
- مصفوفة 3×3 من الأرقام التي تضرب \(x, y, z\) على الجانب الأيسر من كل معادلة: الصفوف هي المعادلات، والأعمدة تقابل \(x\) و \(y\) و \(z\).
- متجه الثوابت \(d\)
- العمود \((d_1, d_2, d_3)\) من قيم الجانب الأيمن التي تساوي المعادلات.
- المحدد \(\det(A)\) (أيضاً \(D\))
- عدد حقيقي واحد محسوب من مصفوفة مربعة يقيس ما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس. \(\det(A)\neq0\) يعني أن حلاً فريداً موجود.
- قاعدة كرامر
- طريقة تحل نظاماً خطياً مربعاً بكتابة كل متغير كنسبة من المحددات: \(x=D_x/D\)، \(y=D_y/D\)، \(z=D_z/D\)، حيث \(D_x, D_y, D_z\) تأتي من استبدال العمود المطابق بـ \(d\).
- قاعدة ساروس
- اختصار لمحدد مصفوفة 3×3: أضف الأقطار الثلاثة التي تعمل من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين واطرح الأقطار الثلاثة التي تعمل من أعلى اليمين إلى أسفل اليسار.
- مصفوفة منفردة
- مصفوفة مربعة محددها هو \(0\)؛ لا يوجد لها معكوس، لذا تعطي قاعدة كرامر حلاً فريداً.
- حل فريد
- ثلاثية مرتبة واحدة بالضبط \((x,y,z)\) تحقق النظام؛ يحدث عندما يكون \(D\neq0\).
- نظام متسق
- نظام له حل واحد على الأقل (واحد أو عدد لا نهائي).
- نظام معتمد
- نظام متسق به عدد لا نهائي من الحلول لأن المعادلات ليست مستقلة جميعاً.
- نظام غير متسق
- نظام بلا حل على الإطلاق؛ معادلاته تتناقض مع بعضها البعض.
- \(a, b, c, d\) لكل صف
- ضمن الصف \(i\)، \(a_i\) هو معامل \(x\)، \(b_i\) معامل \(y\)، \(c_i\) معامل \(z\)، و \(d_i\) الثابت على الجانب الأيمن.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان \(\det(A)\) يساوي صفرًا؟ هذا يعني أن المستويات الثلاثة لا تلتقي في نقطة واحدة، فلا يوجد حل فريد (x، y، z). ويكون النظام إما متناقضًا أو متعدد الحلول (معتمدًا).
هل يمكنني استخدام الكسور أو الأعداد العشرية؟ نعم، أدخل الأعداد العشرية مباشرةً (استخدم 0.5 بدلًا من 1/2).
هل قاعدة كرامر دقيقة؟ بالنسبة لنظام 3×3 تكون دقيقة ومستقرة في الحالات الاعتيادية. أما الأنظمة ذات الأعداد الكبيرة جدًا أو القريبة من الشاذة فقد تظهر فيها أخطاء تقريب طفيفة في الخانات العشرية الأخيرة.
