यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल तीन अज्ञात राशियों (x, y, z) वाले तीन रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करता है। आपको बस समीकरणों के गुणांक मानक रूप में देने होते हैं:

$a_1x + b_1y + c_1z = d_1$
$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$
$a_3x + b_3y + c_3z = d_3$

कैलकुलेटर x, y और z के अद्वितीय मान देता है, साथ ही गुणांक सारणिक $\det(A)$ भी बताता है। यह किसी भी वास्तविक गुणांक के लिए काम करता है — ऋणात्मक संख्याओं, भिन्नों और दशमलव सहित।

इसका उपयोग कैसे करें

हर पंक्ति एक समीकरण को दर्शाती है। x के सामने का गुणांक (a), y का (b) और z का (c) भरें, फिर दाईं ओर का अचर पद (d) लिखें। मान भरने से पहले सभी चरों को बाईं ओर और अचर को दाईं ओर ले आएं। अगर आपका समीकरण $5 = 2x - y$ के रूप में लिखा है, तो उसे $2x - y + 0z = 5$ के रूप में लिखें।

सूत्र की व्याख्या

हल क्रैमर के नियम (Cramer's rule) पर आधारित है। सबसे पहले हम गुणांक आव्यूह A का सारणिक निकालते हैं। फिर हर चर के लिए A के संबंधित स्तंभ को अचर स्तंभ d से बदलकर उसका सारणिक निकालते हैं। भाग करने पर चर का मान मिलता है:

$$x = \dfrac{\det(A_x)}{\det(A)},\quad y = \dfrac{\det(A_y)}{\det(A)},\quad z = \dfrac{\det(A_z)}{\det(A)}$$

अगर $\det(A) = 0$ हो, तो क्रैमर का नियम काम नहीं करता — निकाय का कोई अद्वितीय हल नहीं होता (या तो कोई हल नहीं या अनंत हल), और कैलकुलेटर इसे दर्शा देता है।

3x3 सारणिक निकालने के लिए सैरस नियम के विकर्ण — सैरस विधि से 3×3 सारणिक: नीचे की विकर्ण रेखाओं को जोड़ें और ऊपर की विकर्ण रेखाओं को घटाएं।

क्रैमर नियम के लिए गुणांक मैट्रिक्स A और बदले गए स्तंभों वाले तीन मैट्रिक्स — क्रैमर नियम: प्रत्येक चर $\det(A_i)$ बटा $\det(A)$ के बराबर होता है, जहाँ $A_i$ एक स्तंभ को स्थिरांकों से बदल देता है।

हल किया हुआ उदाहरण

हल करें: $2x + y - z = 8$, $-3x - y + 2z = -11$, $-2x + y + 2z = -3$।

$$\det(A) = -1$$ क्रैमर का नियम लगाने पर $\det(A_x) = -2$, $\det(A_y) = -3$, $\det(A_z) = 1$, इसलिए $x = 2$, $y = 3$, $z = -1$। आप जाँच सकते हैं: $2(2)+3-(-1)=8$ ✓।

आपके परिणाम की व्याख्या

3×3 प्रणाली में प्रत्येक समीकरण त्रि-आयामी स्थान में एक समतल का वर्णन करता है। समाधान वह बिंदु है जहाँ सभी तीन समतल मिलते हैं, और सारणिक $D=\det(A)$ का मान आपको बताता है कि आप तीन में से कौन सी स्थिति में हैं।

$D\neq0$: अद्वितीय समाधान

जब गुणांक सारणिक शून्य नहीं होता है, तो तीनों समतल ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। क्रैमर का नियम एक एकल $(x,y,z)$ लौटाता है, और वह क्रमित त्रिक एकमात्र मूल्य समूह है जो सभी तीनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करता है। यह एक संगत, स्वतंत्र प्रणाली है। आउटपुट $x=D_x/D$, $y=D_y/D$, $z=D_z/D$ सटीक है (सन्निकटन के अंदर) और इसे मूल समीकरणों में वापस प्रतिस्थापित करके जाँचा जा सकता है।

$D=0$: कोई अद्वितीय समाधान नहीं

जब $D=0$ हो तो आव्यूह विलक्षण है और क्रैमर का नियम विभाजन नहीं कर सकता। दो उप-स्थितियाँ मौजूद हैं:

असंगत — कोई समाधान नहीं। समतलों का कोई सामान्य बिंदु नहीं है (उदाहरण के लिए, दो या अधिक समांतर हैं, या वे एक त्रिकोणीय प्रिज्म व्यवस्था बनाते हैं जहाँ कोई भी बिंदु तीनों पर नहीं है)। सिस्टम का कोई समाधान नहीं है।
आश्रित — अनंत समाधान। समतल एक पूरी लाइन साझा करते हैं (या मेल खाते हैं)। यहाँ समीकरण स्वतंत्र नहीं हैं, और $(x,y,z)$ त्रिकों का एक अनंत परिवार है, आमतौर पर एक मुक्त पैरामीटर के साथ वर्णित।

सारणिक अकेले इन दोनों में अंतर नहीं कर सकता; आपको यह देखने के लिए समीकरणों की जांच करनी चाहिए (उदाहरण के लिए, पंक्ति न्यूनीकरण के माध्यम से) कि क्या वे विरोधाभासी हैं या अनावश्यक हैं।

x, y, z आउटपुट को पढ़ना

तीन लौटाई गई संख्याएँ वे निर्देशांक हैं जो प्रत्येक समीकरण को सत्य बनाती हैं। एक मान ऋणात्मक, शून्य या भिन्नात्मक हो सकता है। यदि कैलकुलेटर $D=0$ की रिपोर्ट करता है, तो उत्तर के साथ सावधानी से निपटें और विभाजित परिणाम पर विश्वास करने के बजाय सिस्टम की पुनः जांच करें।

परिभाषाएँ और शब्दावली

गुणांक आव्यूह $A$: प्रत्येक समीकरण के बाईं ओर $x, y, z$ को गुणा करने वाली संख्याओं की 3×3 सरणी: पंक्तियाँ समीकरण हैं, स्तंभ $x$, $y$, और $z$ के अनुरूप हैं।
स्थिरांक वेक्टर $d$: दाईं ओर के मानों का स्तंभ $(d_1, d_2, d_3)$ जो समीकरण बराबर होते हैं।
सारणिक $\det(A)$ (यह भी $D$): एक वर्ग आव्यूह से गणना किया गया एक एकल अदिश जो मापता है कि आव्यूह उलटा है या नहीं। $\det(A)\neq0$ का मतलब है कि एक अद्वितीय समाधान मौजूद है।
क्रैमर का नियम: एक विधि जो प्रत्येक चर को सारणिकों के अनुपात के रूप में लिखकर एक वर्ग रैखिक प्रणाली को हल करती है: $x=D_x/D$, $y=D_y/D$, $z=D_z/D$, जहाँ $D_x, D_y, D_z$ मेल खाने वाले स्तंभ को $d$ से बदलकर आते हैं।
सारस का नियम: 3×3 आव्यूह के सारणिक के लिए एक शॉर्टकट: ऊपर-बाईं ओर से नीचे-दाईं ओर चलने वाली तीन विकर्णों को जोड़ें और ऊपर-दाईं ओर से नीचे-बाईं ओर चलने वाली तीन विकर्णों को घटाएँ।
विलक्षण आव्यूह: एक वर्ग आव्यूह जिसका सारणिक $0$ है; इसका कोई व्युत्क्रम नहीं है, इसलिए क्रैमर का नियम कोई अद्वितीय समाधान नहीं देता।
अद्वितीय समाधान: ठीक एक $(x,y,z)$ सिस्टम को संतुष्ट करता है; यह तब होता है जब $D\neq0$।
संगत प्रणाली: एक प्रणाली जिसका कम से कम एक समाधान है (एक या अनंत)।
आश्रित प्रणाली: एक संगत प्रणाली जिसके अनंत समाधान हैं क्योंकि सभी समीकरण स्वतंत्र नहीं हैं।
असंगत प्रणाली: कोई समाधान नहीं वाली प्रणाली; इसके समीकरण एक दूसरे से विरोधाभास करते हैं।
प्रत्येक पंक्ति में $a, b, c, d$: पंक्ति $i$ के अंदर, $a_i$ $x$-गुणांक है, $b_i$ $y$-गुणांक है, $c_i$ $z$-गुणांक है, और $d_i$ दाईं ओर का स्थिरांक है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अगर $\det(A)$ शून्य हो तो क्या होगा? तीनों समतल एक ही बिंदु पर नहीं मिलते, इसलिए कोई अद्वितीय (x, y, z) नहीं मिलता। ऐसा निकाय या तो असंगत होता है या आश्रित।

क्या मैं दशमलव या भिन्न इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ — दशमलव सीधे भरें ($1/2$ की जगह $0.5$ लिखें)।

क्या क्रैमर का नियम सटीक है? 3×3 निकाय के लिए यह सामान्य इनपुट पर बिल्कुल सटीक और स्थिर है। बहुत बड़े या लगभग एकल (near-singular) निकायों में अंतिम दशमलव स्थानों पर थोड़ी राउंडिंग दिख सकती है।

3×3 रैखिक समीकरण निकाय कैलकुलेटर

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