这个计算器能做什么

本工具用于求解含三个未知数（x、y、z）的三元一次方程组。你只需按标准形式输入各方程的系数：

$a_1x + b_1y + c_1z = d_1$
$a_2x + b_2y + c_2z = d_2$
$a_3x + b_3y + c_3z = d_3$

计算器会返回 x、y、z 的唯一解，并同时给出系数矩阵的行列式 $\det(A)$。系数可以是任意实数，包括负数、分数和小数。

使用方法

每一行对应一个方程。依次填入 x 前的系数（a）、y 前的系数（b）、z 前的系数（c），最后填等号右边的常数项（d）。输入前请先把所有含未知数的项移到等号左边、常数项移到右边。例如方程写成 $5 = 2x - y$ 时，应改写成 $2x - y + 0z = 5$ 再输入。

本工具采用克莱姆法则（Cramer 法则）求解。首先计算系数矩阵 A 的行列式；然后针对每个未知数，把 A 中对应的那一列替换成常数列 d，再求该矩阵的行列式。两者相除即得到该未知数的值：

$$x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)},\quad y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)},\quad z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)}$$

如果 $\det(A) = 0$，克莱姆法则失效——此时方程组没有唯一解（要么无解，要么有无穷多解），计算器会给出提示。

求解 $2x + y - z = 8$，$-3x - y + 2z = -11$，$-2x + y + 2z = -3$。

计算得 $\det(A) = -1$。运用克莱姆法则得到 $\det(A_x) = -2$、$\det(A_y) = -3$、$\det(A_z) = 1$，于是 $x = 2$、$y = 3$、$z = -1$。可代入验证：$$2(2)+3-(-1)=8 \checkmark$$

3×3 系统中的每个方程都描述了三维空间中的一个平面。解就是所有三个平面相交的位置，行列式 $D=\det(A)$ 的值告诉您您处于以下三种情况中的哪一种。

当系数行列式非零时，三个平面恰好在一个点相交。克拉默法则返回单个 $(x,y,z)$，该有序三元组是同时满足所有三个方程的唯一一组值。这是一个相容、独立的系统。输出 $x=D_x/D$, $y=D_y/D$, $z=D_z/D$ 是精确的（在舍入范围内），可以通过代入原始方程来验证。

当 $D=0$ 时矩阵是奇异的，克拉默法则无法进行除法运算。存在两种子情况：

行列式本身无法区分这两种情况；您必须检查方程（例如，通过行化简）以查看它们是矛盾的还是冗余的。

返回的三个数字是使每个方程都成立的坐标。一个值可以是负数、零或分数。如果计算器报告 $D=0$，要谨慎对待该答案，并重新检查系统，而不是信任除法结果。

系数矩阵 $A$: 3×3 数组，包含每个方程左侧乘以 $x, y, z$ 的数字：行是方程，列对应于 $x$、$y$ 和 $z$。
常数向量 $d$: 右侧值 $(d_1, d_2, d_3)$ 的列，方程等于这些值。
行列式 $\det(A)$（也称 $D$）: 从方阵计算得出的单个标量，用于衡量矩阵是否可逆。$\det(A)\neq0$ 意味着存在唯一解。
克拉默法则: 一种通过将每个变量写成行列式之比来求解方形线性系统的方法：$x=D_x/D$, $y=D_y/D$, $z=D_z/D$，其中 $D_x, D_y, D_z$ 来自用 $d$ 替换匹配列的结果。
萨吕斯法则: 3×3 矩阵行列式的快速方法：将从左上到右下运行的三条对角线相加，然后减去从右上到左下运行的三条对角线。
奇异矩阵: 行列式为 $0$ 的方阵；它没有逆矩阵，因此克拉默法则不产生唯一解。
唯一解: 恰好有一个 $(x,y,z)$ 满足系统；当 $D\neq0$ 时发生。
相容系统: 至少有一个解（一个或无穷多个）的系统。
相关系统: 具有无穷多解的相容系统，因为方程不是全部独立的。
不相容系统: 根本没有解的系统；其方程彼此矛盾。
每行 $a, b, c, d$: 在第 $i$ 行内，$a_i$ 是 $x$ 系数，$b_i$ 是 $y$ 系数，$c_i$ 是 $z$ 系数，$d_i$ 是右侧的常数。

如果 $\det(A)$ 等于零怎么办？说明三个平面没有交于同一个点，因此不存在唯一的 $(x, y, z)$。此时方程组要么矛盾无解，要么相互依赖、有无穷多解。

可以输入小数或分数吗？可以——直接输入小数即可（请用 $0.5$ 代替 $1/2$）。

克莱姆法则准确吗？对于 3×3 方程组，在常规输入下它能给出精确而稳定的结果。当数值非常大或矩阵接近奇异时，最后几位小数可能出现微小的舍入误差。