二元一次方程组计算器

输入计算

a₁（x 的系数）

b₁（y 的系数）

c₁（常数项）

a₂（x 的系数）

b₂（y 的系数）

c₂（常数项）

求解方程组：a₁x + b₁y = c₁ 与 a₂x + b₂y = c₂。

结果

解

x = 1
y = 2

唯一解

x	1
y	2
行列式 (D = a₁b₂ − a₂b₁)	-5

这个计算器能做什么

本工具用于求解二元一次方程组，即两个含有两个未知数的一次方程，写作 \(a_1 x + b_1 y = c_1\) 和 \(a_2 x + b_2 y = c_2\)。输入六个系数和常数项后，计算器会给出 \(x\) 和 \(y\) 的值；如果方程组没有唯一解，也会明确提示你。

二元方程组的解就是两条直线相交的点。

使用方法

先填入第一个方程的系数 \(a_1\)、\(b_1\) 和常数项 \(c_1\)，再填入第二个方程的 \(a_2\)、\(b_2\) 和 \(c_2\)，然后点击「计算」。如果两条直线相交于一点，就能得到精确的 \(x\) 和 \(y\) 值；如果两条直线平行（无解）或完全重合（有无穷多解），计算器会提示行列式为零，方程组没有唯一答案。

公式解析

本计算器采用克拉默法则（Cramer's rule）。第一步先求行列式 \(D = a_1 b_2 - a_2 b_1\)。当 \(D \neq 0\) 时，方程组有且仅有一个解，其中

$$x = \frac{c_1\,b_2 - c_2\,b_1}{D}, \qquad y = \frac{a_1\,c_2 - a_2\,c_1}{D}$$

当 \(D = 0\) 时，两个方程表示的是平行直线或重合直线，因此不存在唯一的 \((x, y)\) 解。

实例演示

求解 \(2x + 3y = 8\) 与 \(x - y = -1\)。这里 \(a_1=2\)、\(b_1=3\)、\(c_1=8\)、\(a_2=1\)、\(b_2=-1\)、\(c_2=-1\)。行列式

$$D = (2)(-1) - (1)(3) = -5$$

于是

$$x = \frac{8\cdot-1 - (-1)\cdot 3}{-5} = \frac{-8 + 3}{-5} = \frac{-5}{-5} = 1$$$$y = \frac{2\cdot-1 - 1\cdot 8}{-5} = \frac{-2 - 8}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$$

所以 \(x = 1\)，\(y = 2\)。

三种情况：唯一解、无解（平行）或无穷多解（重合直线）。

常见问题

行列式为零代表什么？说明两条直线要么平行（无解），要么是同一条直线（有无穷多解）。无论哪种情况，都不存在唯一的 \((x, y)\) 解。

支持小数和负数吗？支持，每一个系数都可以输入小数和负数。

这用的是克拉默法则吗？是的——它采用克拉默法则的 \(2\times 2\) 行列式形式，对二元一次方程组的求解是精确无误的。