Ce que fait ce calculateur
Cet outil résout un système de deux équations linéaires à deux inconnues, de la forme \(a_1 x + b_1 y = c_1\) et \(a_2 x + b_2 y = c_2\). Saisissez les six coefficients et constantes : il vous renvoie les valeurs de \(x\) et de \(y\), ou vous indique lorsque le système n'admet pas de solution unique.
Comment l'utiliser
Entrez les coefficients \(a_1\), \(b_1\) et la constante \(c_1\) de la première équation, puis \(a_2\), \(b_2\) et \(c_2\) pour la seconde. Cliquez sur « Calculer ». Si les droites se croisent en un seul point, vous obtenez les valeurs exactes de \(x\) et \(y\). Si les droites sont parallèles (aucune solution) ou confondues (une infinité de solutions), le calculateur signale que le déterminant vaut zéro et qu'il n'existe pas de réponse unique.
La formule expliquée
La méthode employée est la règle de Cramer. On calcule d'abord le déterminant \(D = a_1 b_2 - a_2 b_1\). Lorsque \(D \neq 0\), le système possède une unique solution donnée par
$$x = \frac{c_1\,b_2 - c_2\,b_1}{D}, \qquad y = \frac{a_1\,c_2 - a_2\,c_1}{D}$$Lorsque \(D = 0\), les deux équations décrivent des droites parallèles ou superposées : il n'existe donc aucun couple \((x, y)\) unique.
Exemple concret
Résolvons \(2x + 3y = 8\) et \(x - y = -1\). Ici, \(a_1=2\), \(b_1=3\), \(c_1=8\), \(a_2=1\), \(b_2=-1\), \(c_2=-1\). Le déterminant vaut
$$D = (2)(-1) - (1)(3) = -5$$On obtient alors
$$x = \frac{8\cdot(-1) - (-1)\cdot 3}{-5} = \frac{-8 + 3}{-5} = \frac{-5}{-5} = 1$$$$y = \frac{2\cdot(-1) - 1\cdot 8}{-5} = \frac{-2 - 8}{-5} = \frac{-10}{-5} = 2$$Donc \(x = 1\) et \(y = 2\).
Questions fréquentes
Que signifie un déterminant nul ? Les deux droites sont parallèles (aucune solution) ou identiques (une infinité de solutions). Dans les deux cas, il n'existe aucun couple \((x, y)\) unique.
Le calculateur accepte-t-il les décimaux et les nombres négatifs ? Oui, chaque coefficient peut prendre des valeurs décimales ou négatives.
S'agit-il bien de la règle de Cramer ? Oui : l'outil utilise la forme avec déterminant \(2\times 2\) de la règle de Cramer, exacte pour les systèmes linéaires à deux inconnues.
