Solveur de système linéaire à 3 inconnues

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Résultats

Solution unique

x = 2, y = 3, z = -1

d'après la forme échelonnée réduite

1

Forme échelonnée réduite [A | b]
1	0	0	2
0	1	0	3
0	0	1	-1

L'élimination de Gauss-Jordan avec pivotage partiel est utilisée. Lorsque le système admet une solution unique, le bloc des coefficients devient la matrice identité et la colonne de droite contient (x, y, z).

Ce que fait ce calculateur

Cet outil résout un système de trois équations linéaires à trois inconnues (x, y, z) grâce à l'élimination de Gauss menée jusqu'à la forme échelonnée réduite (méthode de Gauss-Jordan). Il fournit la solution unique lorsqu'elle existe, ou indique si le système n'admet aucune solution (système incompatible) ou une infinité de solutions (système dépendant).

Comment l'utiliser

Saisissez les neuf coefficients de la matrice A ainsi que les trois constantes du second membre b. Chaque équation s'écrit sous la forme \(a_{i1} x + a_{i2} y + a_{i3} z = b_i\). Cliquez sur « Calculer » : le solveur renvoie la solution accompagnée de la matrice réduite finale, ce qui vous permet de suivre chaque étape de l'élimination.

La méthode expliquée

À partir de la matrice augmentée [A | b], l'algorithme sélectionne, dans chaque colonne, la ligne dont le pivot est le plus grand en valeur absolue (pivotage partiel, gage de stabilité numérique), normalise cette ligne de pivot, puis élimine le terme correspondant dans toutes les autres lignes. Une fois les trois colonnes traitées, le bloc des coefficients devient la matrice identité dès lors qu'une solution unique existe, et la dernière colonne contient alors (x, y, z). La comparaison du rang de A avec celui de [A | b] permet de classer le système.

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_{2} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_{3} \end{array}\right] \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & y \\ 0 & 0 & 1 & z \end{array}\right]$$

Chaque équation est un plan ; la solution unique est le seul point où les trois plans se rencontrent.

L'élimination de Gauss-Jordan réduit la matrice augmentée à [I | x], donnant directement la solution.

Exemple résolu

Prenons \(2x + y - z = 8\), \(-3x - y + 2z = -11\), \(-2x + y + 2z = -3\). L'élimination donne \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\). On peut le vérifier :

$$2(2) + 3 - (-1) = 8$$

ce qui est correct.

Questions fréquentes

Que se passe-t-il s'il n'y a pas de solution unique ? Le panneau de résultats affiche « Aucune solution » ou « Une infinité de solutions », et le champ d'état le précise.

L'ordre des équations a-t-il une importance ? Non. Le pivotage partiel réordonne les lignes en interne : le résultat reste identique quel que soit l'ordre de saisie.

Les coefficients peuvent-ils être décimaux ou négatifs ? Oui, tout nombre réel est accepté.