このツールでできること
このツールは、3つの未知数(x, y, z)を含む3元連立1次方程式を、ガウスの消去法をさらに進めた簡約行階段形(ガウス・ジョルダン消去法)を用いて解きます。解がただ1つに定まる場合はその唯一の解を表示し、解が存在しない場合(矛盾する系)や解が無数に存在する場合(従属な系)には、その状態をはっきりとお知らせします。
使い方
係数行列Aの9つの係数と、右辺の定数b（3つ）を入力します。各方程式は \(a_{i1} x + a_{i2} y + a_{i3} z = b_i\) の形をとります。「計算」を押すと、解に加えて最終的な簡約行列も表示されるため、消去の過程を確認できます。
計算方法の解説
拡大係数行列 \([A \mid b]\) からスタートし、アルゴリズムは各列ごとに、絶対値が最大となるピボットを持つ行を選びます（数値的安定性を高めるための部分ピボット選択）。そのピボット行を正規化したうえで、他のすべての行の該当成分を消去します。3つの列をすべて処理し終えると、唯一の解が存在する場合には係数部分が単位行列となり、最後の列に (x, y, z) が並びます。Aの階数と \([A \mid b]\) の階数を比較することで、連立方程式の種類を判別します。
$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_{2} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_{3} \end{array}\right] \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & y \\ 0 & 0 & 1 & z \end{array}\right]$$
計算例
\(2x + y - z = 8\)、\(-3x - y + 2z = -11\)、\(-2x + y + 2z = -3\) を考えます。消去を進めると \(x = 2\)、\(y = 3\)、\(z = -1\) が得られます。検算してみましょう。$$2(2)+3-(-1)=8$$ となり、正しいことが確認できます。
よくある質問
唯一の解が存在しない場合はどうなりますか？ 結果パネルに「解なし」または「解が無数に存在」と表示され、ステータス欄にもその旨が反映されます。
方程式を入力する順番は結果に影響しますか？ いいえ。部分ピボット選択によって内部的に行が並べ替えられるため、入力の順番にかかわらず答えは同じになります。
係数に小数や負の数を使えますか？ はい。任意の実数を入力できます。
