Qué hace esta calculadora
Esta herramienta resuelve un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas (x, y, z) mediante eliminación gaussiana llevada hasta la forma escalonada reducida por filas (método de Gauss-Jordan). Te devuelve la solución única cuando existe, o te indica si el sistema no tiene solución (incompatible) o si tiene infinitas soluciones (compatible indeterminado).
Cómo usarla
Introduce los nueve coeficientes de la matriz A y los tres términos independientes b. Cada ecuación tiene la forma \(a_{i1}\cdot x + a_{i2}\cdot y + a_{i3}\cdot z = b_i\). Pulsa calcular y la calculadora te muestra la solución junto con la matriz reducida final, para que puedas seguir paso a paso la eliminación.
El método explicado
Partiendo de la matriz ampliada \([A \mid b]\), el algoritmo elige en cada columna la fila con el pivote de mayor valor absoluto (pivoteo parcial, para mejorar la estabilidad numérica), normaliza esa fila pivote y luego elimina el elemento correspondiente en todas las demás filas. Tras procesar las tres columnas, el bloque de coeficientes se convierte en la matriz identidad cuando hay solución única, y la última columna contiene (x, y, z). Comparar el rango de A con el rango de \([A \mid b]\) permite clasificar el sistema.
$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_{2} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_{3} \end{array}\right] \;\xrightarrow{\text{Gauss-Jordan}}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & x \\ 0 & 1 & 0 & y \\ 0 & 0 & 1 & z \end{array}\right]$$
Ejemplo resuelto
Tomemos $$2x + y - z = 8,\quad -3x - y + 2z = -11,\quad -2x + y + 2z = -3.$$ La eliminación da como resultado \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = -1\). Puedes comprobarlo: \(2(2)+3-(-1)=8\), correcto.
Preguntas frecuentes
¿Y si no hay solución única? El panel de resultados mostrará «Sin solución» o «Infinitas soluciones», y el campo de estado lo reflejará.
¿Importa el orden de las ecuaciones? No. El pivoteo parcial reordena las filas internamente, así que el resultado es el mismo sin importar el orden en que las introduzcas.
¿Pueden ser los coeficientes decimales o negativos? Sí, se admite cualquier número real.
