À quoi sert cette calculatrice
Cet outil résout un système de deux équations linéaires simultanées à deux inconnues, x et y, de la forme \(\text{a}_1\cdot x + \text{b}_1\cdot y = \text{c}_1\) et \(\text{a}_2\cdot x + \text{b}_2\cdot y = \text{c}_2\). Il s'appuie sur la règle de Cramer, mathématiquement équivalente à une décomposition LU avec pivot partiel pour un système 2×2. Il s'agit de mathématiques pures : la méthode fonctionne partout de la même façon.
Comment l'utiliser
Saisissez les six nombres réels qui définissent vos deux équations : les coefficients de x (a1, a2), les coefficients de y (b1, b2) et les constantes du second membre (c1, c2). Les coefficients peuvent être négatifs, décimaux ou nuls. Cliquez sur « calculer » pour obtenir les valeurs uniques de x et de y, ainsi que le déterminant qui sert d'indicateur.
La formule expliquée
On calcule d'abord le déterminant de la matrice des coefficients : \(D = \text{a}_1\cdot\text{b}_2 - \text{a}_2\cdot\text{b}_1\). On forme ensuite deux autres déterminants en remplaçant une colonne par les constantes : \(D_x = \text{c}_1\cdot\text{b}_2 - \text{c}_2\cdot\text{b}_1\) et \(D_y = \text{a}_1\cdot\text{c}_2 - \text{a}_2\cdot\text{c}_1\). La solution unique vaut alors :
$$x = \frac{D_x}{D}, \qquad y = \frac{D_y}{D}$$Si \(D = 0\), le système n'admet pas de solution unique : lorsque \(D_x\) et \(D_y\) sont eux aussi nuls, les deux équations représentent la même droite (une infinité de solutions) ; sinon, les droites sont parallèles et distinctes (aucune solution).
Exemple résolu
Résolvons \(1\cdot x + 2\cdot y = 3\) et \(4\cdot x + 5\cdot y = 6\). On a $$D = (1\cdot 5) - (4\cdot 2) = -3, \qquad D_x = (3\cdot 5) - (6\cdot 2) = 3, \qquad D_y = (1\cdot 6) - (4\cdot 3) = -6.$$ D'où \(x = 3 / {-3} = -1\) et \(y = -6 / {-3} = 2\). Vérification : \(1(-1) + 2(2) = 3\) et \(4(-1) + 5(2) = 6\). C'est exact.
FAQ
Que se passe-t-il si le déterminant est nul ? Il n'existe pas de couple (x, y) unique. La calculatrice indique alors soit « aucune solution » (droites parallèles), soit « une infinité de solutions » (une seule et même droite).
Un coefficient peut-il être nul ? Oui. Un coefficient nul signifie simplement que la variable est absente de cette équation ; le solveur fonctionne tant que le déterminant n'est pas nul.
Accepte-t-elle les décimaux et les nombres négatifs ? Oui, les six valeurs sont traitées comme de simples nombres réels.
