Công cụ này làm gì
Công cụ giúp bạn giải hệ gồm hai phương trình bậc nhất với hai ẩn số x và y, có dạng \(a_1 \cdot x + b_1 \cdot y = c_1\) và \(a_2 \cdot x + b_2 \cdot y = c_2\). Cách giải dựa trên quy tắc Cramer — về mặt toán học hoàn toàn tương đương với phương pháp phân tích LU có chọn trục riêng phần đối với hệ 2×2. Đây là toán học thuần túy nên kết quả đúng như nhau ở mọi nơi.
Cách sử dụng
Nhập sáu số thực xác định hai phương trình của bạn: hệ số của x (a1, a2), hệ số của y (b1, b2) và các hằng số ở vế phải (c1, c2). Hệ số có thể là số âm, số thập phân hoặc bằng 0. Bấm "Tính" để nhận nghiệm duy nhất (x, y), kèm theo định thức để bạn kiểm tra.
Giải thích công thức
Trước tiên, tính định thức của ma trận hệ số: \(D = a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1\). Tiếp theo, lập thêm hai định thức bằng cách thay một cột bởi các hằng số: \(D_x = c_1 \cdot b_2 - c_2 \cdot b_1\) và \(D_y = a_1 \cdot c_2 - a_2 \cdot c_1\). Nghiệm duy nhất là:
$$\begin{gathered} x = \frac{D_x}{D}, \qquad y = \frac{D_y}{D} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} D &= \text{a}_1\,\text{b}_2 - \text{a}_2\,\text{b}_1 \\ D_x &= \text{c}_1\,\text{b}_2 - \text{c}_2\,\text{b}_1 \\ D_y &= \text{a}_1\,\text{c}_2 - \text{a}_2\,\text{c}_1 \end{aligned} \right. \end{gathered}$$Nếu \(D = 0\) thì hệ không có nghiệm duy nhất: khi \(D_x\) và \(D_y\) cũng bằng 0, hai phương trình biểu diễn cùng một đường thẳng (vô số nghiệm); ngược lại, hai đường thẳng song song và khác nhau (vô nghiệm).
Ví dụ minh họa
Giải hệ \(1 \cdot x + 2 \cdot y = 3\) và \(4 \cdot x + 5 \cdot y = 6\). Ta có \(D = (1 \cdot 5) - (4 \cdot 2) = -3\), \(D_x = (3 \cdot 5) - (6 \cdot 2) = 3\), và \(D_y = (1 \cdot 6) - (4 \cdot 3) = -6\). Vậy \(x = 3 / {-3} = -1\) và \(y = -6 / {-3} = 2\). Thử lại: \(1(-1) + 2(2) = 3\) và \(4(-1) + 5(2) = 6\). Chính xác.
Câu hỏi thường gặp
Nếu định thức bằng 0 thì sao? Khi đó không tồn tại một cặp (x, y) duy nhất. Công cụ sẽ báo "vô nghiệm" (hai đường thẳng song song) hoặc "vô số nghiệm" (cùng một đường thẳng).
Một hệ số có thể bằng 0 không? Có. Hệ số bằng 0 đơn giản nghĩa là ẩn đó không xuất hiện trong phương trình; công cụ vẫn giải được miễn là định thức khác 0.
Có nhập được số thập phân và số âm không? Có, cả sáu giá trị đều được xử lý như những số thực bình thường.
