यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल दो अज्ञात राशियों x और y वाले एक साथ हल किए जाने वाले दो रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करता है, जिनका रूप \(a_1 \cdot x + b_1 \cdot y = c_1\) और \(a_2 \cdot x + b_2 \cdot y = c_2\) होता है। इसमें क्रैमर के नियम (Cramer's rule) का इस्तेमाल होता है, जो 2×2 निकाय के लिए आंशिक पिवटिंग सहित LU अपघटन के गणितीय रूप से बिल्कुल बराबर है। यह शुद्ध गणित है और दुनिया भर में एक जैसा ही काम करता है।
इसका इस्तेमाल कैसे करें
अपने दोनों समीकरणों को परिभाषित करने वाली छह वास्तविक संख्याएं दर्ज करें: x के गुणांक (a1, a2), y के गुणांक (b1, b2), और समीकरण के दाईं ओर के अचर पद (c1, c2)। गुणांक ऋणात्मक, दशमलव या शून्य भी हो सकते हैं। "हल करें" पर क्लिक करते ही आपको x और y के अद्वितीय मान मिल जाएंगे, साथ ही जाँच के लिए सारणिक (determinant) भी।
सूत्र की पूरी समझ
सबसे पहले गुणांक आव्यूह का सारणिक निकालें: \(D = a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1\)। फिर एक-एक स्तंभ की जगह अचर पद रखकर दो और सारणिक बनाएं: \(D_x = c_1 \cdot b_2 - c_2 \cdot b_1\) और \(D_y = a_1 \cdot c_2 - a_2 \cdot c_1\)। अद्वितीय हल होता है
$$x = \frac{D_x}{D}, \qquad y = \frac{D_y}{D}$$यदि \(D = 0\) हो तो निकाय का कोई अद्वितीय हल नहीं होता: जब \(D_x\) और \(D_y\) भी शून्य हों, तो दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं (अनंत हल); अन्यथा दोनों रेखाएं समानांतर और अलग-अलग होती हैं (कोई हल नहीं)।
हल किया हुआ उदाहरण
हल करें \(1 \cdot x + 2 \cdot y = 3\) और \(4 \cdot x + 5 \cdot y = 6\)। तब
$$D = (1 \cdot 5) - (4 \cdot 2) = -3$$$$D_x = (3 \cdot 5) - (6 \cdot 2) = 3$$$$D_y = (1 \cdot 6) - (4 \cdot 3) = -6$$इसलिए \(x = \frac{3}{-3} = -1\) और \(y = \frac{-6}{-3} = 2\)। जाँचें: \(1(-1) + 2(2) = 3\) और \(4(-1) + 5(2) = 6\)। सही है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर सारणिक शून्य हो तो क्या होगा? तब कोई एक निश्चित (x, y) जोड़ी नहीं मिलती। ऐसे में कैलकुलेटर या तो "कोई हल नहीं" (समानांतर रेखाएं) या "अनंत हल" (एक ही रेखा) बताता है।
क्या कोई गुणांक शून्य हो सकता है? हाँ। शून्य गुणांक का मतलब सिर्फ़ इतना है कि उस समीकरण में वह चर मौजूद नहीं है; जब तक सारणिक शून्य नहीं है, तब तक हल निकल आता है।
क्या इसमें दशमलव और ऋणात्मक संख्याएं चलेंगी? हाँ, छहों इनपुट सामान्य वास्तविक संख्याओं की तरह माने जाते हैं।
