यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल y' = F(x, y) रूप वाले प्रथम-कोटि साधारण अवकल समीकरण (ODE) को प्रारंभिक शर्त y(x0) = y0 के साथ संख्यात्मक रूप से हल करता है, और इसके लिए शास्त्रीय फॉरवर्ड (स्पष्ट) यूलर विधि का उपयोग करता है। यह x0 से xn तक n बराबर चरणों में आगे बढ़ता है और स्टेप साइज़ h, (x, y) सन्निकटनों की पूरी तालिका, तथा अंतिम बिंदु का अनुमानित मान y(xn) लौटाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
दाएँ पक्ष F(x, y) को x और y चरों में एक गणितीय व्यंजक के रूप में दर्ज करें (संक्रियक + - * / ^, कोष्ठक, तथा sin, cos, exp, log/ln, sqrt, abs जैसे फलन, और साथ ही नियतांक pi और e)। प्रारंभिक बिंदु x0, प्रारंभिक मान y0, अंतिम बिंदु xn सेट करें, और उपविभाजनों की संख्या n चुनें। n जितना बड़ा होगा, स्टेप उतना छोटा और परिणाम आमतौर पर उतना ही अधिक सटीक होगा।
सूत्र की व्याख्या
स्टेप साइज़ \(h = (x_n - x_0) / n\) होता है, और ग्रिड बिंदु \(x_k = x_0 + k \cdot h\) होते हैं। \(y_0\) से शुरू करते हुए, प्रत्येक नया मान निम्न रूप में निकाला जाता है:
$$y_{k+1} = y_k + h \cdot F(x_k, y_k)$$ढाल \(F\) को वर्तमान बिंदु पर मापा जाता है और उसका उपयोग \(h\) चौड़ाई का एक सीधी-रेखा वाला चरण लेने में किया जाता है। यह विधि प्रथम-कोटि सटीक है, इसलिए वैश्विक त्रुटि \(O(h)\) के अनुपात में बढ़ती-घटती है।
हल किया हुआ उदाहरण
\(y' = 1 - y^2\) के लिए जहाँ \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\), \(x_n = 1\) और \(n = 5\) हैं, स्टेप साइज़ \(h = 0.2\) होता है। पुनरावृत्ति से \(y_1 = 0.2\), \(y_2 = 0.392\), \(y_3 = 0.5612672\), \(y_4 \approx 0.6982668\), \(y_5 \approx 0.8007513\) मिलते हैं। तो \(x = 1\) पर यूलर अनुमान लगभग \(0.8008\) है। सटीक हल \(\tanh(x)\) है, अतः \(\tanh(1) \approx 0.7616\); \(n\) बढ़ाने पर यूलर मान इस वास्तविक मान की ओर बढ़ता जाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
मेरा उत्तर सटीक हल से अलग क्यों है? यूलर विधि केवल प्रथम-कोटि सटीक है। त्रुटि लगभग \(h\) के अनुपात में घटती है, इसलिए बड़ा \(n\) (छोटा स्टेप) चुनने से सटीकता बेहतर होती है।
क्या xn, x0 से छोटा हो सकता है? हाँ। ऐसी स्थिति में स्टेप साइज़ \(h\) ऋणात्मक हो जाता है और वही पुनरावृत्ति पीछे की ओर समाकलन करती है।
कौन-कौन से फलन समर्थित हैं? sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, log/ln, log10, sqrt और abs, साथ ही नियतांक pi और e।
