Qué hace esta calculadora
Esta herramienta resuelve numéricamente una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma \(y' = F(x, y)\) con la condición inicial \(y(x_0) = y_0\), mediante el clásico método de Euler explícito (hacia adelante). Avanza desde \(x_0\) hasta \(x_n\) en \(n\) pasos iguales y devuelve el tamaño del paso \(h\), una tabla completa de aproximaciones \((x, y)\) y el valor aproximado en el extremo, \(y(x_n)\).
Cómo usarla
Introduce el segundo miembro \(F(x, y)\) como una expresión matemática en las variables \(x\) e \(y\) (operadores + - * / ^, paréntesis y funciones como sin, cos, exp, log/ln, sqrt, abs, además de las constantes pi y e). Define el punto de partida \(x_0\), el valor inicial \(y_0\), el extremo final \(x_n\) y elige el número de subdivisiones \(n\). Cuanto mayor sea \(n\), más pequeño será el paso y, en general, más preciso será el resultado.
La fórmula explicada
El tamaño del paso es $$h = \frac{x_n - x_0}{n},$$ y los puntos de la malla son \(x_k = x_0 + k \cdot h\). Partiendo de \(y_0\), cada nuevo valor se calcula como $$y_{k+1} = y_k + h \cdot F(x_k, y_k):$$ se evalúa la pendiente \(F\) en el punto actual y se da un paso en línea recta de anchura \(h\). El método tiene precisión de primer orden, por lo que el error global se comporta como \(O(h)\).
Ejemplo resuelto
Para \(y' = 1 - y^2\) con \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\), \(x_n = 1\) y \(n = 5\), el paso es \(h = 0{,}2\). La iteración da \(y_1 = 0{,}2\), \(y_2 = 0{,}392\), \(y_3 = 0{,}5612672\), \(y_4 \approx 0{,}6982668\), \(y_5 \approx 0{,}8007513\). Así, la estimación de Euler en \(x = 1\) es de unos \(0{,}8008\). La solución exacta es \(\tanh(x)\), de modo que \(\tanh(1) \approx 0{,}7616\); al aumentar \(n\), el valor de Euler se aproxima cada vez más a este valor real.
Preguntas frecuentes
¿Por qué mi resultado difiere de la solución exacta? El método de Euler solo tiene precisión de primer orden. El error disminuye aproximadamente de forma proporcional a \(h\), así que elegir una \(n\) mayor (un paso más pequeño) mejora la precisión.
¿Puede \(x_n\) ser menor que \(x_0\)? Sí. El paso \(h\) se vuelve negativo y la misma recurrencia integra hacia atrás.
¿Qué funciones admite? sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, log/ln, log10, sqrt y abs, junto con las constantes pi y e.
