Что делает этот калькулятор
Этот инструмент численно решает обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка вида \(y' = F(x, y)\) с начальным условием \(y(x_0) = y_0\), используя классический явный (прямой) метод Эйлера. Он проходит отрезок от \(x_0\) до \(x_n\) за \(n\) равных шагов и выдаёт величину шага \(h\), полную таблицу приближённых значений \((x, y)\), а также приближённое значение в конечной точке \(y(x_n)\).
Как пользоваться
Введите правую часть \(F(x, y)\) как математическое выражение от переменных \(x\) и \(y\) (операторы + − * / ^, скобки и функции sin, cos, exp, log/ln, sqrt, abs, а также константы pi и e). Задайте начальную точку \(x_0\), начальное значение \(y_0\), конечную точку \(x_n\) и выберите число разбиений \(n\). Чем больше \(n\), тем меньше шаг и, как правило, тем точнее результат.
Разбор формулы
Величина шага равна $$h = \frac{x_n - x_0}{n},$$ а узлы сетки определяются как \(x_k = x_0 + k \cdot h\). Начиная с \(y_0\), каждое новое значение вычисляется по формуле $$y_{k+1} = y_k + h \cdot F(x_k, y_k):$$ наклон \(F\) берётся в текущей точке и используется для прямолинейного шага шириной \(h\). Метод имеет первый порядок точности, поэтому глобальная погрешность ведёт себя как \(O(h)\).
Разобранный пример
Для \(y' = 1 - y^2\) при \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\), \(x_n = 1\) и \(n = 5\) шаг равен \(h = 0{,}2\). Итерации дают \(y_1 = 0{,}2\), \(y_2 = 0{,}392\), \(y_3 = 0{,}5612672\), \(y_4 \approx 0{,}6982668\), \(y_5 \approx 0{,}8007513\). Таким образом, оценка по Эйлеру в точке \(x = 1\) составляет около \(0{,}8008\). Точное решение — это \(\tanh(x)\), и \(\tanh(1) \approx 0{,}7616\); при увеличении \(n\) значение по методу Эйлера приближается к этому истинному результату.
Частые вопросы
Почему мой ответ отличается от точного решения? Метод Эйлера имеет лишь первый порядок точности. Погрешность убывает примерно пропорционально \(h\), поэтому выбор большего \(n\) (меньшего шага) повышает точность.
Может ли \(x_n\) быть меньше \(x_0\)? Да. Тогда шаг \(h\) становится отрицательным, и та же рекуррентная формула интегрирует уравнение в обратную сторону.
Какие функции поддерживаются? sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, log/ln, log10, sqrt и abs, а также константы pi и e.
