Qué hace esta calculadora
Esta herramienta resuelve numéricamente una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden expresada en la forma \(y'' = F(x, y, y')\) sobre un intervalo \([x_0, x_n]\), mediante el clásico método de Runge-Kutta de cuarto orden (RK4). Tú introduces el lado derecho \(F\) como una expresión matemática en \(x\), \(y\) y \(p\) (donde \(p\) representa \(y'\)), las condiciones iniciales \(y(x_0)\) e \(y'(x_0)\), los extremos del intervalo y el número de pasos. La calculadora devuelve una tabla completa con los valores de \(x\), \(y\) e \(y'\), además de los valores en el extremo final. Es análisis numérico puro y se aplica de forma universal.
Cómo usarla
Introduce \(F(x, y, p)\); por ejemplo, -4*p - 4*y para \(y'' + 4y' + 4y = 0\). Define \(x_0\), \(y_0 = f(x_0)\) y \(p_0 = y'(x_0)\). Indica el punto final \(x_n\) y elige el número de subintervalos \(n\) (más pasos implican un tamaño de paso menor, \(h = (x_n - x_0)/n\), y mayor precisión). Selecciona cuántas cifras significativas quieres mostrar. El error de RK4 es \(O(h^4)\) a nivel global, así que duplicar \(n\) reduce el error aproximadamente en un factor de 16.
La fórmula explicada
Una EDO de segundo orden se reduce a un sistema de dos ecuaciones de primer orden tomando \(p = y'\): entonces \(y' = p\) y \(p' = F(x, y, p)\). En cada paso, RK4 hace avanzar ambas incógnitas usando cuatro evaluaciones ponderadas de las pendientes (\(k\) para \(y\), \(j\) para \(p\)), que se combinan como \((k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)/6\) y \((j_1 + 2j_2 + 2j_3 + j_4)/6\).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(y'' = -4p - 4y\) con \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\), \(p_0 = 1\), \(x_n = 1\) y un único paso grueso (\(n = 1\), \(h = 1\)). Las cuatro etapas dan \(k_1 = 1\), \(k_2 = -1\), \(k_3 = 2\), \(k_4 = -5\) y \(j_1 = -4\), \(j_2 = 2\), \(j_3 = -6\), \(j_4 = 12\). Entonces $$y(1) = \frac{1 - 2 + 4 - 5}{6} = -\frac{1}{3} = -0.3333$$ y $$p(1) = 1 + \frac{-4 + 4 - 12 + 12}{6} = 1.$$ La solución exacta es \(y = x e^{-2x}\), de modo que \(y(1) = e^{-2} = 0.1353\); un único paso gigante de \(h = 1\) resulta demasiado grueso. Con \(n = 50\) o \(100\) la solución converge justo al valor exacto.
Preguntas frecuentes
¿Puedo integrar hacia atrás? Sí: pon \(x_n\) menor que \(x_0\) y el tamaño de paso \(h\) se vuelve negativo, integrando desde \(x_0\) hacia abajo hasta \(x_n\).
¿Por qué mi resultado parece incorrecto con pocos pasos? La precisión de RK4 depende de un tamaño de paso pequeño. Aumenta \(n\) hasta que los resultados sucesivos dejen de cambiar.
¿Qué funciones puede contener F? + - * / ^, paréntesis y sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, exp, log/ln, log10, sqrt, abs, además de las constantes pi y e.
