Qué hace esta calculadora
Esta herramienta resuelve numéricamente una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma \(y' = F(x, y)\) a partir de una condición inicial \(y(x_0) = y_0\), dentro del intervalo que va de \(x_0\) a \(x_n\). Para ello emplea el método clásico de Runge-Kutta de cuarto orden (RK4), uno de los integradores de un solo paso más utilizados y fiables del análisis numérico. El resultado es una tabla de puntos \((x_i, y_i)\) que aproxima la solución real, junto con el valor final \(y(x_n)\). Es una herramienta puramente matemática, sin ámbito de país ni de unidades concretas.
Cómo usarla
Escribe el lado derecho \(F(x,y)\) como una expresión en función de x e y (por ejemplo 1-y^2, x+y, x*y o sin(x)+y). Los operadores admitidos son + - * / ^ y funciones como sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, tanh, además de las constantes pi y e. Indica el inicio \(x_0\), el valor inicial \(y_0\), el final \(x_n\) y elige en cuántas subdivisiones iguales \(n\) quieres dividir el intervalo. Cuantas más subdivisiones uses, mayor será la precisión, ya que el error global de RK4 disminuye proporcionalmente a \(h^4\).
La fórmula explicada
El intervalo se divide en \(n\) pasos iguales de anchura \(h = (x_n - x_0)/n\). En cada paso, RK4 evalúa la pendiente cuatro veces: una al principio (\(k_1\)), dos en el punto medio (\(k_2, k_3\)) y una al final (\(k_4\)). El siguiente valor se obtiene como una media ponderada:
$$y_{i+1} = y_i + \frac{h}{6}\left(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4\right)$$Esto cancela los términos de error hasta el cuarto orden, lo que da un error de truncamiento local de \(O(h^5)\) y un error global de \(O(h^4)\).
Ejemplo resuelto
Resolvamos \(y' = 1 - y^2\) con \(x_0 = 0\), \(y_0 = 0\), \(x_n = 1\) y \(n = 10\) (\(h = 0.1\)). La solución exacta es \(y = \tanh(x)\). El primer paso de RK4 da \(y_1 = 0.0996679\), que coincide con \(\tanh(0.1) = 0.0996680\). Tras los diez pasos, \(y(1) = 0.7615942\), que coincide con \(\tanh(1) = 0.7615942\) con siete cifras de precisión.
Preguntas frecuentes
¿Por qué RK4 es mejor que el método de Euler? Euler usa una sola pendiente por paso (error \(O(h)\)). RK4 utiliza cuatro y las promedia, alcanzando una precisión de \(O(h^4)\) con el mismo tamaño de paso, por lo que necesita muchos menos pasos para lograr una precisión determinada.
¿Cuántos pasos conviene elegir? Empieza con 50. Si la solución es suave, suele ser más que suficiente; para problemas que varían rápidamente o casi rígidos (stiff), súbelos a 100, 200 o 500.
¿Qué hago si obtengo NaN o Infinito? Puede que la solución haya divergido o que \(F(x,y)\) haya provocado una operación no válida (como el logaritmo de un número negativo o una división por cero). Revisa la expresión y prueba con un intervalo más pequeño o con más pasos.
