Qué hace este resolutor
El resolutor de ecuaciones polinómicas de grado n encuentra todas las raíces —reales y complejas— de una ecuación polinómica \(\text{a}_0\,x^{n} + \text{a}_1\,x^{n-1} + \cdots + \text{a}_{n-1}\,x + \text{a}_n = 0\) con coeficientes reales. Emplea el método de Durand-Kerner (también conocido como método de Weierstrass, la base de la familia DKA / Durand-Kerner-Aberth), un esquema iterativo simultáneo que va afinando todas las estimaciones de las raíces a la vez. Es una herramienta matemática universal, sin restricciones de país ni unidades.
Convención de los coeficientes
Esta herramienta ordena los coeficientes empezando por el principal: a0 multiplica a xn (el coeficiente principal, que debe ser distinto de cero) y an es el término independiente. Es justo lo contrario de la convención habitual de los libros de texto («a_k multiplica a x^k»), así que introduce tus coeficientes en consecuencia. Los coeficientes con índice mayor que n se ignoran.
Cómo usarlo
Elige el grado n (de 1 a 16), escribe los coeficientes desde a0 hasta an (deja en 0 los que no uses), selecciona cuántas cifras significativas quieres mostrar y pulsa calcular. Las raíces reales aparecen con parte imaginaria nula; las raíces complejas de un polinomio real surgen en pares conjugados (re + i·im y re − i·im).
La fórmula
Tras dividir cada coeficiente entre a0 para obtener un polinomio mónico \(p(x)=x^{n}+b_1\,x^{n-1}+\cdots+b_n\), cada estimación se actualiza mediante
$$z_i \leftarrow z_i - \frac{p(z_i)}{\displaystyle\prod_{j \ne i}\left(z_i - z_j\right)}$$Partiendo de puntos distintos repartidos alrededor de una circunferencia, las estimaciones convergen de forma simultánea hacia las n raíces.
Ejemplo resuelto
Para \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\) introduce n=3, a0=1, a1=−6, a2=11, a3=−6. El polinomio se factoriza como \((x-1)(x-2)(x-3)\), y la iteración converge hacia las raíces 1, 2 y 3 (todas reales).
Preguntas frecuentes
¿Por qué a0 tiene que ser distinto de cero? Si el coeficiente principal es cero, la ecuación no es realmente de grado n; la herramienta considera a0=0 como un valor no válido.
¿Por qué las raíces complejas aparecen en pares? Un polinomio con coeficientes reales siempre tiene sus raíces complejas en pares conjugados, así que verás valores coincidentes +i·im y −i·im.
¿Se admiten raíces repetidas? Sí, pero las raíces múltiples (repetidas) convergen más despacio, por lo que el resolutor permite muchas iteraciones y una tolerancia más holgada; los residuos imaginarios diminutos se redondean a cero.
