N-घात बहुपद समीकरण सॉल्वर (DKA विधि)

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n (घात) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

दिखाने के अंक 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

a0, x^n का गुणांक है (अग्र, शून्य नहीं); अचर पद a(n) है। इस्तेमाल न होने वाले गुणांक 0 ही रहने दें।

a0

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

a9

a10

a11

a12

a13

a14

a15

a16

परिणाम

पाए गए मूलों की संख्या

5

roots (real & complex) via Durand-Kerner

मूल	Value (re ± i·im)
x_1	2.6817925684442003E-15
x_2	1.3368995720865E-15
x_3	-1.5843433783877E-15
x_4	-2.1505841279553E-15
x_5	1.1330769043639002E-16

यह सॉल्वर क्या करता है

N-घात बहुपद समीकरण सॉल्वर वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद समीकरण \(\text{a}_0\,x^{n} + \text{a}_1\,x^{n-1} + \cdots + \text{a}_{n-1}\,x + \text{a}_n = 0\) के सभी मूल — वास्तविक और सम्मिश्र दोनों — ज्ञात करता है। यह डूरंड-केर्नर विधि (जिसे वाइरश्ट्रास विधि भी कहते हैं, और जो DKA / डूरंड-केर्नर-एबर्थ परिवार का आधार है) का उपयोग करता है — एक ऐसी एक-साथ चलने वाली पुनरावृत्ति योजना जो हर मूल के अनुमान को एक ही समय पर सुधारती है। यह एक सार्वभौमिक गणितीय उपकरण है, जिसका किसी देश या इकाई से कोई संबंध नहीं है।

किसी बहुपद के मूल सम्मिश्र तल में बिंदुओं के रूप में दिखते हैं, जहाँ सम्मिश्र मूल दर्पण-प्रतिबिंब संयुग्मी युग्म बनाते हैं।

गुणांक लिखने का तरीका

यह टूल गुणांकों को अग्र-पहले (leading-first) क्रम में रखता है: a0, xⁿ का गुणांक है (अग्र गुणांक, जो शून्य नहीं होना चाहिए) और an अचर पद (constant term) है। यह पाठ्यपुस्तकों के "a_k, x^k का गुणांक" वाले नियम का उल्टा है, इसलिए अपने गुणांक इसी क्रम में भरें। n से बड़े इंडेक्स वाले गुणांक नज़रअंदाज़ कर दिए जाते हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

घात n चुनें (1 से 16 तक), a0 से an तक के गुणांक टाइप करें (जो इस्तेमाल न हों उन्हें 0 ही रहने दें), यह तय करें कि कितने सार्थक अंक (significant digits) दिखाने हैं, और सबमिट करें। वास्तविक मूल शून्य काल्पनिक भाग के साथ दिखते हैं; वास्तविक बहुपद के सम्मिश्र मूल संयुग्मी जोड़ों में आते हैं (re + i·im और re − i·im)।

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सूत्र

हर गुणांक को a0 से भाग देकर एक मोनिक बहुपद \(p(x)=x^{n}+b_1\,x^{n-1}+\cdots+b_n\) बनाने के बाद, हर अनुमान को इस तरह अपडेट किया जाता है: $$z_i \leftarrow z_i - \frac{p(z_i)}{\displaystyle\prod_{j \ne i}\left(z_i - z_j\right)}$$ एक वृत्त के चारों ओर फैले अलग-अलग बिंदुओं से शुरू करके, सभी अनुमान एक साथ n मूलों की ओर अभिसरित (converge) हो जाते हैं।

DKA विधि सभी मूल अनुमानों को एक वृत्त पर रखती है और उन्हें एक साथ अद्यतन करती है जब तक वे अभिसरित न हो जाएँ।

हल किया हुआ उदाहरण

\(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\) के लिए n=3, a0=1, a1=−6, a2=11, a3=−6 भरें। यह बहुपद \((x-1)(x-2)(x-3)\) के रूप में गुणनखंडित होता है, और पुनरावृत्ति 1, 2 और 3 (सभी वास्तविक) मूलों पर अभिसरित हो जाती है।

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अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

a0 शून्य क्यों नहीं हो सकता? अगर अग्र गुणांक शून्य हो, तो समीकरण वास्तव में घात n का रह ही नहीं जाता; इसलिए टूल a0=0 को अमान्य मानता है।

सम्मिश्र मूल जोड़ों में क्यों आते हैं? वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद के सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी जोड़ों में होते हैं, इसलिए आपको मिलते-जुलते +i·im और −i·im मान दिखेंगे।

क्या दोहराए गए (repeated) मूल संभाले जाते हैं? हां, लेकिन बहुगुणी (repeated) मूल धीरे-धीरे अभिसरित होते हैं, इसलिए सॉल्वर कई पुनरावृत्तियाँ और थोड़ी ढीली सहनशीलता (tolerance) की अनुमति देता है; बहुत छोटे काल्पनिक अवशेषों को शून्य कर दिया जाता है।