Công cụ này làm được gì
Công cụ giải phương trình đa thức bậc N sẽ tìm toàn bộ nghiệm — cả thực lẫn phức — của phương trình \(\text{a}_0\,x^{n} + \text{a}_1\,x^{n-1} + \cdots + \text{a}_{n-1}\,x + \text{a}_n = 0\) với các hệ số thực. Công cụ sử dụng phương pháp Durand-Kerner (còn gọi là phương pháp Weierstrass, nền tảng của họ thuật toán DKA / Durand-Kerner-Aberth) — một sơ đồ lặp đồng thời, tinh chỉnh tất cả các nghiệm xấp xỉ cùng một lúc. Đây là một công cụ toán học phổ quát, không gắn với quốc gia hay đơn vị đo nào.
Quy ước về hệ số
Công cụ này đánh chỉ số hệ số theo thứ tự bậc cao trước: a0 là hệ số của xn (hệ số dẫn đầu, bắt buộc phải khác 0) và an là hệ số tự do (số hạng hằng). Lưu ý điều này ngược với quy ước thường gặp trong sách giáo khoa là "a_k là hệ số của x^k", nên bạn hãy nhập hệ số cho đúng. Mọi hệ số có chỉ số lớn hơn n sẽ bị bỏ qua.
Cách sử dụng
Chọn bậc n (từ 1 đến 16), nhập các hệ số a0 đến an (để 0 ở những hệ số không dùng), chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị, rồi nhấn tính. Nghiệm thực sẽ có phần ảo bằng 0; nghiệm phức của đa thức hệ số thực luôn xuất hiện theo cặp liên hợp (\(\text{re} + i\cdot\text{im}\) và \(\text{re} - i\cdot\text{im}\)).
Công thức
Sau khi chia tất cả hệ số cho a0 để đưa về đa thức chuẩn tắc (monic) \(p(x)=x^{n}+b_1\,x^{n-1}+\cdots+b_n\), mỗi nghiệm xấp xỉ được cập nhật theo công thức
$$z_i^{\,(k+1)} = z_i^{\,(k)} - \frac{P\!\left(z_i^{\,(k)}\right)}{\displaystyle\prod_{j \ne i}\left(z_i^{\,(k)} - z_j^{\,(k)}\right)}$$Bắt đầu từ các điểm phân biệt rải đều quanh một đường tròn, các giá trị xấp xỉ sẽ hội tụ đồng thời về n nghiệm.
Ví dụ minh họa
Với \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\), hãy nhập n=3, a0=1, a1=−6, a2=11, a3=−6. Đa thức này phân tích được thành \((x-1)(x-2)(x-3)\), và quá trình lặp sẽ hội tụ về các nghiệm 1, 2 và 3 (đều là nghiệm thực).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao a0 phải khác 0? Nếu hệ số dẫn đầu bằng 0 thì phương trình thực chất không còn là bậc n nữa; vì vậy công cụ xem a0=0 là dữ liệu không hợp lệ.
Vì sao nghiệm phức luôn đi theo cặp? Một đa thức có hệ số thực luôn có nghiệm phức xuất hiện theo từng cặp liên hợp, nên bạn sẽ thấy các giá trị \(+i\cdot\text{im}\) và \(-i\cdot\text{im}\) đi kèm với nhau.
Công cụ có xử lý được nghiệm bội không? Có, nhưng nghiệm bội (nghiệm lặp) hội tụ chậm hơn, nên công cụ cho phép lặp nhiều lần và dùng sai số rộng hơn; những phần dư ảo cực nhỏ sẽ được làm tròn về 0.
