Bu çözücü ne işe yarar?
N. Dereceden Polinom Denklemi Çözücü, gerçek katsayılı \(\text{a}_0\,x^{n} + \text{a}_1\,x^{n-1} + \cdots + \text{a}_{n-1}\,x + \text{a}_n = 0\) polinom denkleminin tüm köklerini — gerçek ve karmaşık — bulur. Bunun için Durand-Kerner yöntemini (Weierstrass yöntemi olarak da bilinir; DKA / Durand-Kerner-Aberth ailesinin temelidir) kullanır. Bu yöntem, tüm kök tahminlerini aynı anda iyileştiren eşzamanlı bir iteratif yaklaşımdır. Herhangi bir ülkeye veya birime bağlı olmayan evrensel bir matematik aracıdır.
Katsayı sıralaması
Bu araç katsayıları baş katsayıdan başlayarak indeksler: a0, xn'in katsayısıdır (baş katsayı; sıfırdan farklı olmak zorundadır) ve an sabit terimdir. Bu, ders kitaplarındaki "a_k, x^k'nin katsayısıdır" sıralamasının tersidir; bu yüzden katsayılarınızı buna göre girin. n'den büyük indeksli katsayılar dikkate alınmaz.
Nasıl kullanılır?
Derece n'yi seçin (1 ile 16 arası), a0'dan an'e kadar katsayıları yazın (kullanmadıklarınızı 0 bırakın), kaç anlamlı basamak gösterileceğini belirleyin ve gönderin. Gerçek kökler sanal kısmı sıfır olarak görünür; gerçek katsayılı bir polinomun karmaşık kökleri eşlenik çiftler halinde (\(re + i\cdot im\) ve \(re - i\cdot im\)) görünür.
Formül
Her katsayı a0'a bölünerek monik polinom \(p(x)=x^{n}+b_1\,x^{n-1}+\cdots+b_n\) elde edildikten sonra, her tahmin $$z_i \leftarrow z_i - \frac{p(z_i)}{\displaystyle\prod_{j \ne i}\left(z_i - z_j\right)}$$ bağıntısıyla güncellenir. Bir çember etrafına yayılmış farklı başlangıç noktalarından başlanarak, tahminler n köke eşzamanlı olarak yakınsar.
Çözümlü örnek
\(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\) için n=3, a0=1, a1=−6, a2=11, a3=−6 girin. Polinom \((x-1)(x-2)(x-3)\) şeklinde çarpanlarına ayrılır ve iterasyon 1, 2 ve 3 köklerine (hepsi gerçek) yakınsar.
Sıkça Sorulan Sorular
a0 neden sıfırdan farklı olmalı? Baş katsayı sıfır olursa denklem aslında n. dereceden değildir; bu yüzden araç a0=0 girdisini geçersiz sayar.
Karmaşık kökler neden çiftler halinde gelir? Gerçek katsayılı bir polinomun karmaşık kökleri her zaman eşlenik çiftler halinde bulunur; bu nedenle birbirine karşılık gelen \(+i\cdot im\) ve \(-i\cdot im\) değerlerini görürsünüz.
Katlı kökler destekleniyor mu? Evet, ancak katlı (tekrar eden) kökler daha yavaş yakınsar; bu yüzden çözücü çok sayıda iterasyona ve daha gevşek bir tolerans değerine izin verir. Çok küçük sanal kalıntılar sıfıra yuvarlanır.
