Что делает этот калькулятор
Калькулятор уравнений n-й степени находит все корни — как действительные, так и комплексные — полиномиального уравнения вида \(\text{a}_0\,x^{n} + \text{a}_1\,x^{n-1} + \cdots + \text{a}_{n-1}\,x + \text{a}_n = 0\) с действительными коэффициентами. В его основе лежит метод Дюрана–Кернера (он же метод Вейерштрасса — фундамент семейства DKA / Durand–Kerner–Aberth) — итерационная схема, которая уточняет сразу все приближения корней одновременно. Это универсальный математический инструмент: он не привязан к какой-либо стране и не использует единицы измерения.
Как нумеруются коэффициенты
Здесь коэффициенты задаются от старшего к младшему: a0 стоит при xn (старший коэффициент, он не должен быть равен нулю), а an — это свободный член. Обратите внимание: это обратный порядок по сравнению с привычной из учебников записью «a_k при x^k», поэтому вводите коэффициенты именно в таком виде. Коэффициенты с индексом больше n не учитываются.
Как пользоваться
Выберите степень n (от 1 до 16), введите коэффициенты от a0 до an (неиспользуемые оставьте равными 0), укажите, сколько значащих цифр показывать, и нажмите «Рассчитать». Действительные корни выводятся с нулевой мнимой частью; комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами идут сопряжёнными парами (\(re + i\cdot im\) и \(re - i\cdot im\)).
Формула
Сначала все коэффициенты делятся на a0, чтобы получить приведённый (унитарный) многочлен \(p(x)=x^{n}+b_1\,x^{n-1}+\cdots+b_n\). Затем каждое приближение обновляется по правилу
$$z_i \leftarrow z_i - \frac{p(z_i)}{\displaystyle\prod_{j \ne i}\left(z_i - z_j\right)}$$Начиная с различных точек, равномерно распределённых по окружности, приближения одновременно сходятся к n корням.
Разбор примера
Для уравнения \(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\) введите n=3, a0=1, a1=−6, a2=11, a3=−6. Многочлен раскладывается на множители \((x-1)(x-2)(x-3)\), и итерации сходятся к корням 1, 2 и 3 (все действительные).
Частые вопросы
Почему a0 не может быть нулём? Если старший коэффициент равен нулю, степень уравнения на самом деле меньше n, поэтому значение a0=0 считается недопустимым.
Почему комплексные корни идут парами? У многочлена с действительными коэффициентами комплексные корни всегда образуют сопряжённые пары, поэтому вы увидите соответствующие значения \(+i\cdot im\) и \(-i\cdot im\).
Учитываются ли кратные корни? Да, но кратные (повторяющиеся) корни сходятся медленнее, поэтому калькулятор допускает большое число итераций и более мягкий порог точности; крошечные мнимые остатки обнуляются.
