Что считает этот калькулятор
Этот инструмент решает простейшие тригонометрические уравнения вида \(\sin\theta = k\), \(\cos\theta = k\) и \(\tan\theta = k\). Поскольку тригонометрические функции периодичны, у каждого такого уравнения бесконечно много корней. Калькулятор выдаёт главное значение (тот ответ, который даёт обратная функция на вашем калькуляторе) и одно конкретное решение из общей серии корней — для выбранного вами целого числа \(n\).
Как пользоваться
Выберите функцию (sin, cos или tan), введите значение правой части \(k\) и целое число \(n\). Для синуса и косинуса \(k\) должно лежать в пределах от −1 до 1, иначе вещественного решения не существует. Поставьте \(n = 0\), чтобы увидеть в качестве решения главное значение, а затем увеличивайте или уменьшайте \(n\), чтобы перебирать всю серию ответов.
Разбор формул
Для \(\sin\theta = k\) общее решение записывается как $$\theta = n\,\pi + (-1)^{n}\,\arcsin\!\left(k\right)$$ Множитель \((-1)^{n}\) «переворачивает» главное значение на нечётных кратных \(\pi\), благодаря чему одна формула охватывает сразу обе ветви корней.
Для \(\cos\theta = k\) общее решение имеет вид $$\theta = 2\,n\,\pi \pm \arccos\!\left(k\right)$$ этот калькулятор использует ветвь со знаком «+» (ветвь со знаком «−» даёт симметричный угол). Для \(\tan\theta = k\), у которого период равен \(\pi\), решение записывается как $$\theta = n\,\pi + \arctan\!\left(k\right)$$
Пример с решением
Решим уравнение \(\sin\theta = 0{,}5\). Главное значение равно $$\arcsin(0{,}5) = 30° = \frac{\pi}{6}$$ При \(n = 0\) решением будет 30°. При \(n = 1\) получаем $$1\cdot 180° - 30° = 150°$$ — второй угол в промежутке [0°, 360°), для которого синус равен 0,5. Оба значения — верные корни одного и того же уравнения.
Частые вопросы
Почему ответ меняется при изменении \(n\)? У тригонометрических уравнений бесконечно много корней, и число \(n\) выбирает, какой именно корень из повторяющейся серии вы увидите.
Почему появляется «нет вещественного решения»? Синус и косинус принимают значения только от −1 до 1, поэтому у уравнения \(\sin\theta = 2\) нет вещественного угла-решения. А вот тангенс может быть равен любому вещественному числу \(k\).
Градусы или радианы? Результат показывается и так, и так: градусы — в верхнем блоке, радианы — сразу под ним.
