ماذا تفعل هذه الحاسبة؟
تحل هذه الأداة المعادلات المثلثية الأساسية \(\sin\theta = \text{k}\) و \(\cos\theta = \text{k}\) و \(\tan\theta = \text{k}\). وبما أن الدوال المثلثية دورية، فإن لكل معادلة عدداً لا نهائياً من الحلول. تعرض الحاسبة القيمة الأساسية (وهي الإجابة التي تعطيها الدالة العكسية على آلتك الحاسبة) إلى جانب حل محدد من عائلة الحل العام، وذلك حسب العدد الصحيح n الذي تختاره.
كيفية الاستخدام
اختر الدالة (sin أو cos أو tan)، ثم أدخل قيمة الطرف الأيمن k، وأدخل عدداً صحيحاً n. بالنسبة لجيب الزاوية وجيب التمام، يجب أن تقع قيمة k بين −1 و 1، وإلا فلن يكون هناك حل حقيقي. اضبط n = 0 لرؤية القيمة الأساسية كحل، ثم زد قيمة n أو أنقصها للتنقل عبر مجموعة الإجابات كاملةً.
شرح القوانين
بالنسبة لـ \(\sin\theta = \text{k}\)، يكون الحل العام $$\theta = \text{n}\,\pi + (-1)^{\text{n}}\,\arcsin\!\left(\text{k}\right)$$ العامل \((-1)^{\text{n}}\) يعكس إشارة القيمة الأساسية عند المضاعفات الفردية لـ \(\pi\)، فيجمع كلا الفرعين في تعبير واحد.
بالنسبة لـ \(\cos\theta = \text{k}\)، يكون الحل العام $$\theta = 2\,\text{n}\,\pi \pm \arccos\!\left(\text{k}\right)$$ وتستخدم هذه الحاسبة الفرع الموجب (+) (أما الفرع السالب فيعطي الزاوية المنعكسة). أما \(\tan\theta = \text{k}\)، التي دورتها \(\pi\)، فحلها هو $$\theta = \text{n}\,\pi + \arctan\!\left(\text{k}\right)$$
مثال محلول
لنحل المعادلة \(\sin\theta = 0.5\). القيمة الأساسية هي $$\arcsin(0.5) = 30° = \frac{\pi}{6}$$ عند \(n = 0\) يكون الحل 30°. وعند \(n = 1\) يصبح $$1\cdot 180° - 30° = 150°$$ وهي الزاوية الثانية في المجال [0°، 360°) التي يساوي عندها جيب الزاوية 0.5. وكلا الحلين صحيحان للمعادلة نفسها.
الأسئلة الشائعة
لماذا تتغير الإجابة مع تغير n؟ للمعادلات المثلثية عدد لا نهائي من الحلول؛ والعدد n يحدد أيّاً منها تراه ضمن العائلة المتكررة.
لماذا تظهر عبارة «لا يوجد حل حقيقي»؟ لأن جيب الزاوية وجيب التمام لا يعطيان إلا قيماً بين −1 و 1، لذا فإن المعادلة \(\sin\theta = 2\) ليس لها حل زاوي حقيقي. أما الظل (tan) فيقبل أي قيمة حقيقية لـ k.
درجات أم راديان؟ تُظهر النتيجة كليهما: الدرجات في المربع الرئيسي، والراديان أسفله مباشرةً.
