ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تحلّ هذه الأداة أي معادلة تكعيبية على الصورة \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)، وتُرجِع الجذور الثلاثة. وبحسب طبيعة المعادلة قد تكون الجذور ثلاثة أعداد حقيقية مختلفة، أو جذرًا حقيقيًا مكررًا، أو جذرًا حقيقيًا واحدًا مقترنًا بجذرين عقديين مترافقين. وهي أداة رياضية بحتة تعطي النتائج نفسها في كل مكان.
كيفية الاستخدام
أدخِل المعاملات الأربعة a وb وc وd. يجب أن يكون المعامل الرئيسي a مختلفًا عن الصفر (وإلا لم تَعُد المعادلة تكعيبية). اختَر عدد الأرقام المعنوية التي تريد عرضها، ثم اقرأ الجذور الثلاثة والمميِّز وتصنيف الجذور.
شرح الصيغة الرياضية
نبدأ بتوحيد المعادلة عبر القسمة على a لنحصل على \(x^3 + Bx^2 + Cx + D = 0\). ثم يؤدي التعويض \(x = t - B/3\) إلى حذف الحد التربيعي وإنتاج معادلة تكعيبية مختزَلة \(t^3 + pt + q = 0\) حيث $$p = C - \frac{B^2}{3},\quad q = \frac{2B^3}{27} - \frac{BC}{3} + D$$ وبعد ذلك يخبرنا المميِّز $$\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3$$ بنوع الحالة. فعندما يكون \(\Delta > 0\) يوجد جذر حقيقي واحد وجذران عقديان (الصيغة الجذرية لكاردانو)، وعندما يكون \(\Delta = 0\) يوجد جذر حقيقي مكرر، وعندما يكون \(\Delta < 0\) تكون الجذور الثلاثة جميعها حقيقية ونستخدم الصيغة المثلثية \(t_k = m\cdot\cos(\theta - 2\pi k/3)\). وأخيرًا يُزاح كل جذر مرة أخرى بمقدار \(-B/3\).
مثال محلول
بالنسبة إلى المعادلة \(x^3 - 2x^2 - 11x + 12 = 0\) نحصل على \(p = -37/3\) و \(q = 4.07407\) و \(\Delta \approx -65.33 < 0\)، أي أن لدينا ثلاثة جذور حقيقية. وتعطينا الصيغة المثلثية \(x = 4\) و \(x = 1\) و \(x = -3\)، وهي فعلًا تُحلَّل إلى العوامل \((x-4)(x-1)(x+3)\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن يكون a مختلفًا عن الصفر؟ إذا كان \(a = 0\) يختفي الحد ذو الدرجة الأعلى وتصبح المعادلة من الدرجة الثانية على الأكثر، ومن ثَمّ لا تنطبق طريقة كاردانو.
ماذا يعني المميِّز؟ تُصنِّف إشارته الجذور: الموجبة تعطي جذرًا حقيقيًا واحدًا وجذرين عقديين، والصفر يعطي جذرًا حقيقيًا مكررًا، والسالبة تعطي ثلاثة جذور حقيقية مختلفة.
كيف تُعرض الجذور العقدية؟ عند وجودها تظهر على هيئة زوج مترافق \(re + im\cdot i\) و \(re - im\cdot i\)؛ أما الجذور الحقيقية البحتة فيكون جزؤها التخيّلي صفرًا.
