Kübik Denklem Çözücü Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

a (x³ coefficient)

b (x² coefficient)

c (x katsayısı)

d (sabit terim)

Anlamlı basamak sayısı 61014182226303438424650

Formül

Show calculation steps (1)

1. Discriminant

   

   The sign of the discriminant of the depressed cubic determines the nature of the roots.

Sonuç

Kübik denklemin kökleri

x₁ = 4
x₂ = 1
x₃ = -3

three distinct real roots

4.0 0.0 1.0 0.0 -3.0 0.0

Yöntem	Cardano yöntemi (indirgenmiş kübik)
Discriminant Δ	-65,333333
Sınıflandırma	three distinct real roots

Bu hesaplayıcı ne işe yarar?

Bu araç, \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) biçimindeki her kübik denklemi çözer ve üç kökün tamamını verir. Denkleme göre kökler birbirinden farklı üç gerçek sayı, katlı bir gerçek kök ya da bir gerçek kök ile birlikte iki eşlenik karmaşık kök olabilir. Tamamen matematiksel bir araçtır ve dünyanın her yerinde aynı şekilde çalışır.

Nasıl kullanılır?

Dört katsayıyı (a, b, c ve d) girin. Baş katsayı a sıfırdan farklı olmalıdır; aksi takdirde denklem kübik olmaktan çıkar. Ardından kaç anlamlı basamak görüntülemek istediğinizi seçin ve üç kökü, diskriminantı ve kök sınıflandırmasını okuyun.

Formülün açıklaması

Önce her terimi a'ya bölerek normalleştiririz ve \(x^3 + Bx^2 + Cx + D = 0\) elde ederiz. \(x = t - B/3\) yerine koyma işlemi ikinci derece terimi yok eder ve $$p = C - \frac{B^2}{3},\quad q = \frac{2B^3}{27} - \frac{BC}{3} + D$$ olmak üzere \(t^3 + pt + q = 0\) biçiminde indirgenmiş bir kübik denklem üretir. Bunun ardından diskriminant $$\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3$$ hangi durumda olduğumuzu söyler. \(\Delta > 0\) olduğunda bir gerçek ve iki karmaşık kök vardır (Cardano'nun köklü ifadesi); \(\Delta = 0\) olduğunda katlı bir gerçek kök bulunur; \(\Delta < 0\) olduğunda ise üç kökün tamamı gerçektir ve trigonometrik biçimi kullanırız: \(t_k = m\cdot\cos(\theta - 2\pi k/3)\). Son olarak her kök \(-B/3\) kadar geri kaydırılır.

Diskriminantın işareti, köklerin hepsinin gerçek mi yoksa bir karmaşık çift mi içerdiğini gösterir.

Bir kübiğin gerçek kökleri, eğrisinin x eksenini kestiği yerlerdedir.

Çözümlü örnek

\(x^3 - 2x^2 - 11x + 12 = 0\) için \(p = -37/3\), \(q = 4{,}07407\) ve \(\Delta \approx -65{,}33 < 0\) buluruz; dolayısıyla üç gerçek kök vardır. Trigonometrik biçim \(x = 4\), \(x = 1\) ve \(x = -3\) köklerini verir; bunlar gerçekten de \((x-4)(x-1)(x+3)\) çarpanlarına ayrılır.

Sıkça Sorulan Sorular

a neden sıfırdan farklı olmalı? \(a = 0\) olursa en yüksek dereceli terim ortadan kalkar ve denklem en fazla ikinci dereceli olur; bu durumda Cardano yöntemi uygulanamaz.

Diskriminant ne anlama gelir? İşareti kökleri sınıflandırır: pozitifse bir gerçek ve iki karmaşık kök, sıfırsa katlı bir gerçek kök, negatifse birbirinden farklı üç gerçek kök vardır.

Karmaşık kökler nasıl gösterilir? Var olduklarında \(re + im\cdot i\) ve \(re - im\cdot i\) biçiminde bir eşlenik çift olarak görünürler; tamamen gerçek köklerin sanal kısmı sıfırdır.