Máy Giải Phương Trình Bậc Ba

Nhập phép tính

a (x³ coefficient)

b (x² coefficient)

c (hệ số x)

d (hằng số)

Số chữ số có nghĩa 61014182226303438424650

Công thức

Show calculation steps (1)

1. Discriminant

   

   The sign of the discriminant of the depressed cubic determines the nature of the roots.

Kết quả

Nghiệm của phương trình bậc ba

x₁ = 4
x₂ = 1
x₃ = -3

three distinct real roots

4.0 0.0 1.0 0.0 -3.0 0.0

Phương pháp	Phương pháp Cardano (phương trình bậc ba khuyết)
Discriminant Δ	-65,333333
Phân loại nghiệm	three distinct real roots

Công cụ này làm được gì

Công cụ này giải mọi phương trình bậc ba có dạng \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) và trả về cả ba nghiệm. Tùy theo từng phương trình, các nghiệm có thể là ba số thực phân biệt, một nghiệm thực kép, hoặc một nghiệm thực kèm hai nghiệm phức liên hợp. Đây là toán học thuần túy nên kết quả luôn giống nhau ở bất kỳ đâu.

Cách sử dụng

Nhập bốn hệ số a, b, c và d. Hệ số dẫn đầu a phải khác 0 (nếu không thì phương trình không còn là bậc ba nữa). Chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị, sau đó xem ba nghiệm, biệt thức và phần phân loại nghiệm.

Giải thích công thức

Trước tiên ta chuẩn hóa bằng cách chia cả hai vế cho a, thu được \(x^3 + Bx^2 + Cx + D = 0\). Phép thế \(x = t - B/3\) loại bỏ số hạng bậc hai và đưa về dạng phương trình bậc ba khuyết (depressed cubic) \(t^3 + pt + q = 0\) với

$$p = C - \frac{B^2}{3},\quad q = \frac{2B^3}{27} - \frac{BC}{3} + D$$

Biệt thức

$$\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3$$

cho biết ta đang ở trường hợp nào. Khi \(\Delta > 0\) phương trình có một nghiệm thực và hai nghiệm phức (dạng căn của Cardano); khi \(\Delta = 0\) có một nghiệm thực kép; khi \(\Delta < 0\) cả ba nghiệm đều thực và ta dùng dạng lượng giác \(t_k = m\cdot\cos\!\left(\theta - \frac{2\pi k}{3}\right)\). Cuối cùng, mỗi nghiệm được dịch ngược lại bằng \(-B/3\).

Dấu của biệt thức cho biết các nghiệm đều là thực hay có một cặp nghiệm phức.

Nghiệm thực của phương trình bậc ba nằm ở nơi đường cong cắt trục x.

Ví dụ minh họa

Với \(x^3 - 2x^2 - 11x + 12 = 0\), ta tính được \(p = -\frac{37}{3}\), \(q = 4{,}07407\) và \(\Delta \approx -65{,}33 < 0\), nên phương trình có ba nghiệm thực. Dạng lượng giác cho ra \(x = 4\), \(x = 1\) và \(x = -3\), đúng bằng các nghiệm khi phân tích thành \((x-4)(x-1)(x+3)\).

Câu hỏi thường gặp

Vì sao a phải khác 0? Nếu \(a = 0\) thì số hạng bậc cao nhất biến mất và phương trình chỉ còn bậc hai trở xuống, nên phương pháp Cardano không áp dụng được.

Biệt thức có ý nghĩa gì? Dấu của nó dùng để phân loại nghiệm: dương cho một nghiệm thực và hai nghiệm phức, bằng 0 cho một nghiệm thực kép, âm cho ba nghiệm thực phân biệt.

Nghiệm phức được hiển thị thế nào? Khi có, chúng xuất hiện thành một cặp liên hợp \(re + im\cdot i\) và \(re - im\cdot i\); còn nghiệm thực thuần thì có phần ảo bằng 0.