Công Cụ Giải Phương Trình Bậc Bốn

Nhập phép tính

a (x⁴)

b (x³)

c (x²)

d (x)

e (hằng số)

Công thức

Show calculation steps (1)

1. Depressed Quartic (Substitution)

   

   With x = y - B/4 and monic coefficients B=b/a, C=c/a, D=d/a, E=e/a, the quartic reduces to y^4 + p y^2 + q y + r = 0 which Ferrari method solves.

Kết quả

Bốn nghiệm của phương trình bậc bốn

x1

-2

x2

1

x3

3

x4

5

Phương pháp	Phương pháp Ferrari (phương trình bậc ba phụ trợ)
Số nghiệm	4 (tính cả bội, trong mặt phẳng phức)

Công cụ giải phương trình bậc bốn là gì?

Công cụ này tìm cả bốn nghiệm của phương trình đa thức bậc bốn (bậc 4) có dạng \(ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0\). Nó sử dụng phương pháp Ferrari — một kỹ thuật đại số chính xác — nên trả về nghiệm thực và nghiệm phức một cách chính xác tuyệt đối thay vì dùng phép lặp số gần đúng. Mọi phương trình bậc bốn với hệ số thực đều có đúng bốn nghiệm trong mặt phẳng phức, và các nghiệm phức luôn xuất hiện theo từng cặp liên hợp.

Một phương trình bậc bốn có thể có tối đa bốn nghiệm thực, tại những điểm đường cong cắt trục x.

Cách sử dụng

Nhập năm hệ số a, b, c, d và e. Hệ số bậc cao nhất a phải khác 0, nếu không phương trình sẽ không còn là bậc bốn. Hãy để các hệ số khác bằng 0 nếu đa thức của bạn thiếu một số hạng nào đó. Bấm tính toán để xem các nghiệm từ x1 đến x4. Nghiệm thực không có phần ảo; nghiệm phức hiển thị dưới dạng \(p + qi\).

Giải thích công thức

Trước tiên, phương trình được đưa về dạng chuẩn (đơn vị hóa) bằng cách chia cho a. Phép thế \(x = y - \tfrac{b}{4a}\) cho ra một phương trình bậc bốn rút gọn $$y^{4} + p\,y^{2} + q\,y + r = 0$$ không còn số hạng bậc ba. Phương pháp Ferrari sau đó tìm một nghiệm thực m của một phương trình bậc ba phụ trợ (resolvent cubic), nhờ đó phương trình bậc bốn rút gọn được viết thành tích của hai thừa số bậc hai. Giải từng phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm phức cho ra bốn giá trị y; chuyển ngược lại bằng \(x = y - \tfrac{b}{4a}\) ta thu được các nghiệm.

Phương pháp Ferrari đưa phương trình bậc bốn về một phương trình bậc ba giải thức và hai nhân tử bậc hai.

Ví dụ minh họa

Với phương trình $$x^{4} - 7x^{3} + 5x^{2} + 31x - 30 = 0$$ (\(a=1\), \(b=-7\), \(c=5\), \(d=31\), \(e=-30\)), đa thức phân tích thành \((x-1)(x+2)(x-3)(x-5)\). Công cụ trả về \(x_1 = -2\), \(x_2 = 1\), \(x_3 = 3\), \(x_4 = 5\), tất cả đều là nghiệm thực.

Câu hỏi thường gặp

Công cụ có xử lý được nghiệm phức không? Có. Ví dụ, \(x^{4} + 1 = 0\) sẽ trả về bốn căn bậc bốn phức của \(-1\), xấp xỉ \(\pm 0{,}7071 \pm 0{,}7071i\).

Nếu a bằng 0 thì sao? Khi đó phương trình không còn là bậc bốn nữa và công cụ sẽ báo lỗi; bạn hãy dùng công cụ giải phương trình bậc ba hoặc bậc hai để thay thế.

Công cụ có xử lý được nghiệm bội không? Có. Một phương trình như \((x-2)^{4} = 0\) sẽ trả về \(x = 2\) lặp lại bốn lần.