四次方程式求解計算機

輸入計算

a (x⁴)

b (x³)

c (x²)

d（x）

e（常數項）

數學公式

Show calculation steps (1)

1. Depressed Quartic (Substitution)

   

   With x = y - B/4 and monic coefficients B=b/a, C=c/a, D=d/a, E=e/a, the quartic reduces to y^4 + p y^2 + q y + r = 0 which Ferrari method solves.

結果

四次方程式的四個根

x1

-2

x2

1

x3

3

x4

5

解法	Ferrari 費拉里法（三次預解式）
根的數量	4 個（含重根，於複數平面上計算）

什麼是四次方程式求解計算機？

這個計算機可以解出形如 \(ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0\) 的四次（四階）多項式方程式的全部四個根。它採用 Ferrari 費拉里法這種精確的代數解法，因此能準確算出實根與複數根，而非透過數值逼近得到近似值。任何具有實係數的四次方程式在複數平面上恰好有四個根，而所有複數根都會以共軛對的形式成對出現。

四次方程式最多可有四個實根，即其曲線與x軸相交之處。

使用方法

輸入 a、b、c、d、e 五個係數。最高次項係數 \(a\) 必須不為零，否則該方程式就不是四次方程式。如果你的多項式缺少某些項，將對應的係數留為 0 即可。按下「計算」就能看到 x1 到 x4。實根不會顯示虛部；複數根則以 \(p + qi\) 的形式呈現。

公式解析

首先將方程式同除以 \(a\)，化為首項係數為 1 的標準式（monic）。接著代入 \(x = y - \tfrac{b}{4a}\)，消去三次項，得到不含三次項的「降階四次式」\(y^{4} + p\,y^{2} + q\,y + r = 0\)。Ferrari 法接著求出一個三次預解式（resolvent cubic）的實根 \(m\)，藉此把降階四次式寫成兩個二次因式的乘積。再用複數版的二次公式分別解這兩個二次式，得到四個 \(y\) 值；最後用 \(x = y - \tfrac{b}{4a}\) 換回原變數，就得到方程式的四個根。

費拉里方法將四次方程式化為一個預解三次方程式和兩個二次因式。

實例演算

以 $$x^{4} - 7x^{3} + 5x^{2} + 31x - 30 = 0$$（a=1、b=−7、c=5、d=31、e=−30）為例，這個多項式可因式分解為 \((x-1)(x+2)(x-3)(x-5)\)。計算機會回傳 \(x_1 = -2\)、\(x_2 = 1\)、\(x_3 = 3\)、\(x_4 = 5\)，全部為實根。

常見問題

它能處理複數根嗎？可以。舉例來說，\(x^{4} + 1 = 0\) 會回傳 \(-1\) 的四個複數四次方根，約為 \(\pm 0.7071 \pm 0.7071i\)。

如果 a 等於零會怎樣？此時方程式已不再是四次方程式，計算機會回報錯誤；請改用三次或二次方程式求解工具。

它能處理重根嗎？可以。像 \((x-2)^{4} = 0\) 這樣的方程式，會回傳 \(x = 2\) 共四次。