乘積和計算機

輸入計算

數列 A（以逗號分隔）

數列 B（以逗號分隔）

結果

乘積和

32

S = Σ (aᵢ × bᵢ)

相乘的配對數	3

什麼是乘積和？

乘積和指的是：把一組數列中的每個元素，與第二組數列中對應位置的元素相乘，再把所有乘積全部加總起來所得到的數值。用簡潔的數學符號表示就是 \( S = \sum (a_i \cdot b_i) \)。這個運算其實就等同於兩個向量的內積（點積），從統計學、物理學到財務分析與機器學習，幾乎處處可見它的身影。

如何使用本計算機

在 數列 A 中輸入你的第一組數字，並在 數列 B 中輸入對應的第二組數字，數值之間以逗號分隔。計算機會依照位置一一配對——A 的第一個搭配 B 的第一個、第二個搭配第二個，以此類推——將每一對相乘後再加總。若兩組數列長度不同，多出來的尾端數值會被略過，僅計算完整配對的部分。

公式解析

對於數列 \( a = (a_1, a_2, \ldots, a_n) \) 與 \( b = (b_1, b_2, \ldots, b_n) \)，乘積和為：

$$S = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + \ldots + a_n \cdot b_n$$

每一項都貢獻其各自的乘積，逐項累加後的總和即為最終答案。由於運算過程不涉及除法，因此任何數值輸入都能得到明確的結果。

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乘積之和將對應的數對 \( a_i \cdot b_i \) 相乘，再把結果相加。

實例演算

假設數列 A = 1, 2, 3，數列 B = 4, 5, 6。先計算每一對的乘積：\( 1 \times 4 = 4 \)、\( 2 \times 5 = 10 \)、\( 3 \times 6 = 18 \)。再將它們加總：$$4 + 10 + 18 = \mathbf{32}$$因此乘積和為 32，共使用了 3 對配對。

範例：將各對乘積相加，得到一個最終值 \( S \)。

常見問題

這跟內積（點積）是一樣的嗎？ 是的——對於兩個長度相同的向量而言，乘積和正是它們的內積。

如果我的兩組數列長度不一樣怎麼辦？ 系統只會採用互相對應的配對；較長那組數列尾端多出來的數值會被略過。

可以輸入小數或負數嗎？ 當然可以。本計算機完全支援小數與負數，因此乘積與最終總和都有可能是負值或帶有小數。