गुणनफलों का योग क्या होता है?
गुणनफलों का योग वह कुल मान है जो आपको तब मिलता है जब आप एक सूची के हर पद को दूसरी सूची के संगत पद से गुणा करते हैं और फिर इन सभी गुणनफलों को जोड़ देते हैं। संक्षेप में इसे \( S = \sum (a_i \times b_i) \) के रूप में लिखा जाता है। यह क्रिया दो सदिशों (vectors) के डॉट प्रोडक्ट के बिल्कुल समान है और सांख्यिकी, भौतिकी से लेकर वित्त और मशीन लर्निंग तक हर जगह काम आती है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपनी पहली संख्या-सूची सूची A में और उससे मेल खाती सूची सूची B में दर्ज करें, और मानों को अल्पविराम (कॉमा) से अलग करें। कैलकुलेटर इन्हें स्थान-दर-स्थान जोड़ता है — A का पहला मान B के पहले मान के साथ, दूसरा दूसरे के साथ, और इसी तरह आगे — हर जोड़ी को गुणा करता है और परिणामों को जोड़ देता है। यदि एक सूची लंबी हो, तो अंत में बचे अतिरिक्त मानों को अनदेखा कर दिया जाता है, ताकि केवल पूरी जोड़ियाँ ही गिनी जाएँ।
सूत्र की व्याख्या
सूचियों \( a = (a_1, a_2, \ldots, a_n) \) और \( b = (b_1, b_2, \ldots, b_n) \) के लिए, गुणनफलों का योग इस प्रकार है:
$$S = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + \ldots + a_n \cdot b_n$$हर पद अपना गुणनफल जोड़ता है, और चलता हुआ कुल मान ही अंतिम उत्तर होता है। इसमें भाग देने का कोई चरण नहीं है, इसलिए किसी भी संख्यात्मक इनपुट के लिए परिणाम परिभाषित रहता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए सूची A = 1, 2, 3 और सूची B = 4, 5, 6 है। हर गुणनफल निकालिए: \( 1 \times 4 = 4 \), \( 2 \times 5 = 10 \), \( 3 \times 6 = 18 \)। इन्हें जोड़िए: $$4 + 10 + 18 = \mathbf{32}$$ तो गुणनफलों का योग 32 है, जो 3 जोड़ियों से प्राप्त हुआ।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह डॉट प्रोडक्ट के समान ही है? हाँ — समान लंबाई वाले दो सदिशों के लिए, गुणनफलों का योग ठीक डॉट प्रोडक्ट ही होता है।
अगर मेरी सूचियों की लंबाई अलग-अलग हो तो? केवल मेल खाती जोड़ियाँ ही इस्तेमाल होती हैं; लंबी सूची के अंत में बचे अतिरिक्त मान अनदेखे कर दिए जाते हैं।
क्या मैं दशमलव या ऋणात्मक संख्याएँ इस्तेमाल कर सकता हूँ? बिल्कुल। कैलकुलेटर दशमलव और ऋणात्मक संख्याओं को संभालता है, इसलिए गुणनफल और अंतिम योग ऋणात्मक या भिन्नात्मक भी हो सकते हैं।
