वर्गों का योग कैलकुलेटर

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परिणाम

वर्गों का योग (SS)

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माध्य से कुल वर्गिक विचलन

संख्या (n)	6
योग (Σx)	108
माध्य (x̄)	18
जनसंख्या प्रसरण (SS / n)	151.6667
प्रतिदर्श प्रसरण (SS / (n−1))	182

वर्गों का योग (Sum of Squares) क्या है?

वर्गों का योग (SS) यह मापता है कि डेटा सेट के हर मान का माध्य से कुल कितना वर्गिक विचलन है। यह आँकड़ाशास्त्र (statistics) की एक बुनियादी राशि है, जिसका उपयोग प्रसरण (variance), मानक विचलन (standard deviation), समाश्रयण (regression) और प्रसरण विश्लेषण (ANOVA) निकालने में किया जाता है। वर्गों का योग जितना बड़ा होगा, उतना ही मान औसत के इर्द-गिर्द अधिक फैले हुए होंगे; वहीं शून्य का अर्थ है कि सभी मान बिल्कुल एक जैसे हैं।

संख्या रेखा पर बिखरे डेटा बिंदु जिनमें माध्य तक लंबवत विचलन रेखाएँ हैं — माध्य से प्रत्येक बिंदु की दूरी (विचलन) को ही वर्ग करके जोड़ा जाता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

अपनी संख्याएँ कॉमा या स्पेस से अलग करके दर्ज करें (उदाहरण के लिए 4, 8, 15, 16, 23, 42) और कैलकुलेटर वर्गों के योग के साथ-साथ संख्या (count), योग, माध्य, जनसंख्या प्रसरण और प्रतिदर्श प्रसरण भी बता देगा। मानों के प्रकार पर कोई पाबंदी नहीं है — आप पूर्णांक, दशमलव या ऋणात्मक संख्याएँ भी इस्तेमाल कर सकते हैं।

सूत्र को समझें

वर्गों का योग इस प्रकार परिभाषित है: $$SS = \sum_{i=1}^{n}\left(x_i - \bar{x}\right)^2$$ सबसे पहले, सभी मानों के योग को उनकी संख्या $n$ से भाग देकर माध्य $\bar{x}$ निकालें। फिर हर मान में से माध्य घटाकर उसका विचलन निकालें, हर विचलन का वर्ग करें और उन्हें जोड़ दें। वर्ग करने से हर विचलन धनात्मक हो जाता है और माध्य से दूर पड़े मानों को अधिक भार (weight) मिलता है।

विचलन को वर्ग करने को दर्शाने के लिए एक विचलन खंड को वर्गाकार क्षेत्रफल में बदला गया — प्रत्येक विचलन का वर्ग एक क्षेत्रफल देता है; सभी वर्गों को जोड़ने पर SS मिलता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए मान हैं 2, 4, 6, 8। माध्य होगा $$(2 + 4 + 6 + 8) / 4 = 5$$ विचलन हैं −3, −1, 1, 3, और इनके वर्ग हैं 9, 1, 1, 9। इन्हें जोड़ने पर $SS = 20$ आता है। $n = 4$ से भाग देने पर जनसंख्या प्रसरण 5 आता है, और $n - 1 = 3$ से भाग देने पर प्रतिदर्श प्रसरण लगभग 6.67 आता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल (FAQ)

क्या वर्गों का योग और प्रसरण एक ही चीज़ हैं? नहीं। प्रसरण, वर्गों के योग को $n$ (जनसंख्या) या $n - 1$ (प्रतिदर्श) से भाग देने पर मिलता है। SS बिना भाग दिया हुआ कुल मान है।

क्या वर्गों का योग ऋणात्मक हो सकता है? नहीं। चूँकि हर विचलन का वर्ग किया जाता है, इसलिए हर पद शून्य या धनात्मक ही होता है, अतः $SS \geq 0$ रहता है।

मुझे जनसंख्या प्रसरण इस्तेमाल करना चाहिए या प्रतिदर्श? जब आपका डेटा किसी बड़ी जनसंख्या से लिया गया एक प्रतिदर्श (sample) हो, तब प्रतिदर्श प्रसरण $SS / (n - 1)$ का उपयोग करें; और जब आपका डेटा पूरी जनसंख्या को दर्शाता हो, तब जनसंख्या प्रसरण $SS / n$ का उपयोग करें।

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