किसी श्रेणी का आंशिक योग (Σ) कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

फलन f(i) — कोई पैटर्न चुनें i (i का योग) i^2 (वर्गों का योग) i^3 (घनों का योग) a*i + b (रैखिक) a * r^i (गुणोत्तर) 1 / i (हरात्मक)

निचला सूचकांक m

ऊपरी सूचकांक n

गुणांक a

अचर b

अनुपात r

परिणाम

Partial Sum (Σ)

55

summed from i = 1 to 10

पदों की संख्या	10
निचला सूचकांक m	1
ऊपरी सूचकांक n	10
औसत पद	5.5

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल सिग्मा संकेतन में लिखे गए आंशिक योग की गणना करता है — यानी \( \sum_{i=\text{m}}^{\text{n}} f(i) \)। यह निचली सीमा m और ऊपरी सीमा n के बीच आने वाले हर पूर्णांक सूचकांक (दोनों सिरों सहित) के लिए चुने गए फलन का मान जोड़ता जाता है। बीजगणित, कैलकुलस और कंप्यूटर साइंस में जब भी किसी अनुक्रम का चलता हुआ योग (running total) चाहिए होता है, तब आंशिक योग काम आते हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

पहले कोई फलन पैटर्न चुनें: i (प्राकृतिक संख्याएँ), i² (वर्ग), i³ (घन), रैखिक रूप a·i + b, गुणोत्तर रूप a·rⁱ, या हरात्मक 1/i। इसके बाद निचला सूचकांक m और ऊपरी सूचकांक n दर्ज करें। रैखिक और गुणोत्तर पैटर्न के लिए गुणांक a, b और अनुपात r भी भरें। कैलकुलेटर आपको कुल योग, जोड़े गए पदों की संख्या और औसत पद बताएगा।

सूत्र की व्याख्या

व्यंजक $$S = \sum_{i=\text{m}}^{\text{n}} f(i)$$ का सीधा-सा अर्थ है: i = m से शुरू करें, f(i) का मान निकालें, फिर i = m+1 पर जाएँ, और इसी तरह i = n तक हर परिणाम को जोड़ते रहें। पदों की संख्या \( n - m + 1 \) होती है। उदाहरण के लिए, वर्गों के योग में \( f(i) = i^{2} \) होता है, और जब m = 1 हो तो इसका संक्षिप्त सूत्र \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \) बन जाता है।

सिग्मा संकेतन के भाग: सूचक i जो m से शुरू होकर n पर समाप्त होता है और f(i) का योग करता है।

हल किया हुआ उदाहरण

1 से 5 तक वर्गों का योग: $$1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$$ कुल 5 पदों में, औसत 11।

आंशिक योग i=m से n तक प्रत्येक पद f(i) को चलते योग में जोड़ता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या दोनों सिरे शामिल होते हैं? हाँ, इस योग में i = m और i = n दोनों शामिल रहते हैं।

अगर n, m से छोटा हो तो? ऐसे में योग को खाली माना जाता है और परिणाम 0 आता है।

क्या सूचकांक ऋणात्मक हो सकता है? हाँ — m और n कोई भी पूर्णांक हो सकते हैं, बशर्ते \( n \geq m \) हो। हरात्मक 1/i के मामले में i = 0 वाला पद छोड़ दिया जाता है ताकि शून्य से भाग देने की स्थिति न आए।